2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题12 解三角形（解析版）

这是一份2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题12 解三角形（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题12 解三角形一、单选题1．（四川省南充市2023届高三三模文科数学试题）在中，角的对边分别是，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由得，所以，由于,故选：A2．（湖南省邵阳市2023届高三三模数学试题）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为（    ）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】作△ABC，连接，易知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，结合已知求，即可确定的边长.【详解】如图，连接，由题设，因为以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，所以，，故.故选：B.二、多选题3．（重庆市2023届高三三模数学试题）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（    ）A．a，b， B．，，C．a，， D．，，b【答案】ACD【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；对于C项，由正弦定理可知，即C正确；对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；故选：ACD.三、填空题4．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）已知内有一点，满足，则___________.【答案】/【分析】先用已知角表示出，然后利用正弦定理可解.【详解】如图，易知，又所以则由正弦定理得，解得故答案为：5．（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2023届高三三模数学试题）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝_____________．【答案】【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出的长度.【详解】由题意，在中，，，由正弦定理，，∵，∴，连接如下图所示，在中，由余弦定理， ，又，∴，∴．故答案为：.四、解答题6．（贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；（2）由AD是△ABC的角平分线，可得，从而可求出，进而可求出三角形的面积.【详解】（1）因为所以根据正弦定理得：即由余弦定理得：故又所以．（2）因为AD是△ABC的角平分线，由，得：，所以故．7．（贵州省黔西南州金成实验学校2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求角A的大小；(2)若，△ABC的面积为，求的值．【答案】(1)(2)2 【分析】(1)利用正弦定理和两角和的余弦公式求解；(2)利用面积公式和余弦定理求解.【详解】（1）由已知及正弦定理得，∵∵， ∵ ∴.（2）∵  ∴,又∵  ∴,所以．8．（东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：①，其中为的面积，②，③．在中，角，，对应边分别为，，，_______________．(1)求角；(2)若为边的中点，，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解.（2）在中，设，由正弦定理可得，，进而得到，进而求解.【详解】（1）选①，由余弦定理得：，又，所以，得，因为，所以．选②，因为，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因为，所以．选③，因为，由正弦定理得：，即，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即．（2）在中，设，由正弦定理得，所以，，∴，其中，当时取等号，所以的最大值是．9．（重庆市2023届高三三模数学试题）已知的内角、、的对边分别为、、，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）将切化弦，再由差角公式得到，利用正弦、余弦定理将角化边，即可得证；（2）由余弦定理及（1）的结论得到，即可得到三角形为等腰三角形，利用二倍角公式公式求出，再由诱导公式计算可得.【详解】（1）因为，所以，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，即，所以.（2）由题意可知，又，可得，所以，即为等腰三角形，由，解得或，因为，所以，所以，所以.10．（湖南省三湘名校教育联盟2021届高三下学期第三次大联考数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.【答案】（1）b=4；（2）.【分析】（1）由求出，再根据余弦定理可求出；（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.【详解】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=﹣1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为∠CAD=∠BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：熟练掌握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.11．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）已知向量，.设.(1)求函数的最小正周期；(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；（2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a.【详解】（1）由题意，，因此函数的最小正周期为；（2）由得，因为，所以，解得，因为，所以,由余弦定理解得,所以.12．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知．(1)证明：；(2)求的面积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意得，根据，则，构造函数根据导数得，则.（2）由结论（1）得，结合正弦定理则有，化简得，解出并检验，最后再利用面积公式即可.【详解】（1）因为，所以，即，则，因为，，, ， ，所以，因为，所以，即，因为，所以令，则，因为，所以在上单调递减，所以由得，即成立（2）因为，所以所以由正弦定理得，且，所以因为所以由得化简得因为，所以所以由得或（舍去），，所以.13．（吉林省实验中学2021-2022学年高三上学期第一次诊断测试文科数学试题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若，，且，求a.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【详解】（1））∵且，∴，∴，∴，∵，∴.（2）∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.14．（陕西省安康市2023届高三三模理科数学试题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.(1)求；(2)若，，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式或者直接展开计算，再根据倍角公式化简即可；（2）利用正弦定理进行角化边，再根据余弦定理求出c边，最后利用正弦定理的三角形面积公式计算即可.【详解】（1），（或，∴，∵，∴，∴或，解得或，∵，∴，∴.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，∴.15．（新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023届高三三模数学（理）试题）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求大小；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，再由正弦定理得，结合三角形内角性质求角的大小可得答案；（2）应用正弦边角关系及三角形面积公式可得再由的范围可得答案.【详解】（1）由余弦定理得，即，再由正弦定理得，∴，∵，∴，又，∴；（2）由正弦定理得即，而，由为锐角三角形，∴且，则，∴，即.16．（四川省凉山彝族自治州2023届高三第三次诊断性检测数学（文）试题）设的内角的对边分别为，已知的面积为．(1)求；(2)延长至,使，若，求的最小值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由余弦定理和三角形的面积公式化简得到，求得，即可求解；（2）设，可得，由余弦定理化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由余弦定理可得，因为的面积为，可得，又因为，所以，即，因为，所以.（2）解：如图所示，因为，设，则，由余弦定理可得当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 17．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若，求的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）使用三角恒等变换及余弦定理化简得；（2）结合及正余弦定理可求的值.【详解】（1）因为，所以. 所以. 根据余弦定理，得， 所以. 所以. 所以a，b，c成等比数列.（2）由余弦定理，得. 因为，所以由正弦定理，得. 所以.所以.18．（山西省晋中市2023届高三三模数学试题（A卷））锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，利用两角和差公式及三角形性质化简，分类讨论，求解即可；（2）利用余弦定理求得，通过等面积法建立高AD的函数，利用基本不等式及二次函数求最值即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以，所以或，若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，从而，则，又，所以；（2）由（1）知，化简得，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，故长的最大值为.19．（湖南省邵阳市2023届高三三模数学试题）如图所示，D为外一点，且，，    (1)求sin∠ACD的值；(2)求BD的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理求出边的长，用勾股定理得出边的长，即可求出sin∠ACD的值；（2）由正弦定理求出与的关系，由余弦定理即可求出BD的长.【详解】（1）由题意， 在中，，，，由余弦定理得，，..在中，，，，.（2）由题意及（1）得，在中，由正弦定理得，.∴，且.又，∴，∴.在中，，，由余弦定理得，，∴，∴.20．（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．(1)求B；(2)已知D为的中点，，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.（2）利用向量得到，从而利用数量积运算法则得到，从而得解.【详解】（1），，，且，，两式相加得，，即,.（2）因为D为的中点，所以，所以，，代入，得：，或（舍去）；.21．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）记的内角的对边分别为，已知为钝角，.(1)若，求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意及正弦定理得到，即，结合角的范围可得，又，即可求得；（2），令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由，根据正弦定理得：，由于，可知，即，因为为钝角，则为锐角，即，则，则.由，得.（2）.因为为锐角，所以，即，则，设，则，.因为，则，从而.由此可知，的取值范围是.22．（湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测（一）数学试题）在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换的知识证得.（2）转化为只含的三角函数的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数求得的取值范围【详解】（1）依题意，由余弦定理得，，由正弦定理得，，，，由于，所以，则由于，所以，则，所以或（舍去），所以.（2）由于，所以为锐角，即，而，即.，令，，，所以在区间上，递增；在区间上递减.，所以，所以的取值范围是.