2024届高考数学-第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化（解析版）

第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设右焦点，

将代入椭圆方程可得，

可得，，，，

由，可得，

即有，

化简为，

由，即有，

由，可得，

可得，

故选：．

2．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为，，

设，，由垂直于轴可得，

由，可得，

设，由，可得，，

解得，，

将，代入椭圆方程可得，

即，即有，

则，

故选：．

3．设，分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：可设为第一象限的点，且，，

由题意可得，①

由双曲线的定义可得，②

由勾股定理可得，③

联立①②③消去，，可得：

，即，

则，

故选：．

4．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，，

由整理可得：，

即，

因为点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，

所以，

，

所以点坐标为，

设点，则，，

由可得，所以，

因为点在双曲线上，所以，

整理可得：，

所以，即，

两边同时平方可得：，

所以，即，，

可得：或（舍，所以，

故选：．

5．设圆锥曲线的两个焦点分别为，．若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于　　

A．或 B．或 C．2或 D．或

【解答】解：由题意可设：，，．

当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率；

当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率．

综上可知，圆锥曲线的离心率为或．

故选：．

6．设，分别是椭圆的左、右焦点，轴，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，成等差数列，

，

由椭圆定义可得，，

，，

，，

可得，

所以椭圆的离心率；

故选：．

7．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

联立，解得，

在第二象限，，

设，则，，

由，得，，

，，

又，，

化简得：，即，

解得：或（舍．

可得．

故选：．

8．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，

，

在直角三角形中，，可得，，

取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，

，

，

，

，

，

故选：．

9．已知在菱形中，，曲线是以，为焦点，且经过，两点的椭圆，其离心率为；曲线是以，为焦点，渐近线分别和，平行的双曲线，其离心率为，则　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：，

，

设，则，，

椭圆是以，为焦点，且经过，两点的椭圆，

，

，得，

则椭圆的离心率为，

则双曲线是以，为焦点渐近线分别和，平行的双曲线，

则双曲线中，

的斜率，即，

则，即，得，

则，

则，

故选：．

二．多选题（共1小题）

10．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是　　

A．椭圆的离心率 

B．双曲线的离心率 

C．椭圆上不存在点使得 

D．双曲线上存在点使得

【解答】解：椭圆，双曲线，

若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

设椭圆的右焦点坐标，则正六边形的一个顶点，

对于．将代入椭圆方程，得：，

结合，可得，因为，解得，故正确；

对于．把代入双曲线的渐近线方程不妨设，，得，所以，

则双曲线的离心率，故正确；

对于．当点是短轴的端点时，最大，

由，得，又，从而可得，，

所以，则，即，所以．，故错误；

对于．当点在实轴的端点时，向量与向量夹角为，此时，．，故正确；

故选：．

三．填空题（共9小题）

11．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为　　．

【解答】解：不妨设，，可设椭圆的焦点坐标，，

正六边形的一个顶点，，

由，即，

解得椭圆的；

双曲线的渐近线的斜率为，即，

可得双曲线的离心率为．

即有椭圆与双曲线的离心率之积为．

故答案为：．

12．如图，在平面直角坐标系中，，，，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点为，且则该椭圆的离心率为　　．

【解答】解：直线的方程为，直线的方程为，

联立方程组，解得，．

，

，，

把代入椭圆方程得：，

即，

化简得：，

，

解得或（舍去）．

故答案为：．

13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是　　．

【解答】解：，，，，

，，

，，

，

化为：，．

解得，

故答案为：．

14．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且直线的斜率为，则该椭圆的离心率为　　．

【解答】解：由题意可得，，，

由直线的方程代入椭圆方程，

消去，可得，，

即为，，

直线的斜率为，可得，

即有，由，可得，

即．

故答案为：．

15．如图，在平面直角坐标系中，点位椭圆的左顶点，点、在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于　　．

【解答】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形，

，

则、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，

、两点是关于轴对称的．

由题知：

四边形为平行四边形，则，

可设，，，

代入椭圆方程解得：，

设为椭圆的右顶点，由于，四边形为平行四边形，

则，

对点：，解得，

根据

得，即有，

，即．

故答案为：．

16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，，若，则该双曲线的离心率为　　．

【解答】解：法1（代数法）：因为与相切，

所以直线斜率，

由对称性不妨考虑情形．

又双曲线的渐近线方程为，则垂直其中一条渐近线，

故与一渐近线的交点，即为该渐近线与在第二象限的交点，

可得，如图，

设中点为，由，

即，则有，又，

故，且为的中点，

所以为的中点，则，三等分，

由，得，

由在另一渐近线上，

即有，则，

故离心率．

法2（几何法）：设，则，

由题意易知，，

在中，，又，

则有，即，

故离心率．

法3（参数方程法）：直线的参数方程为为参数），

代入，可得对应的参数

又对应的参数，由及与相切，

可知，即，

则，则有，故离心率．

故答案为：．

17．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，，则双曲线的离心率是　　．

【解答】解：由，，可得，，

由双曲线的定义可得，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

即为，

则．

故答案为：．

18．设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于　或　．

【解答】解：，

，

①若圆锥曲线是椭圆，则，

；

②若圆锥曲线是双曲线，

则．

故答案为：或．

19．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是　　．

【解答】解：，可得，

在中，，

，

在直角三角形中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，

，

．

故答案为：．