2024届高考数学-第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式（解析版）

第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于　　

A． B． C．2 D．3

【解答】解：，

设，，

，

，

即，

，

，

故选：．

2．如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，设，，

由双曲线的定义可得，

由题意可得，，

由双曲线的定义可得，

在三角形中，，

由余弦定理可得，

即为，

化简可得，

在直角三角形中，，，，，

所以，即为，

即．

故选：．

3．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

圆必过双曲线的两个焦点，，

，则，，

故双曲线的离心率为．

故选：．

4．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，

，

，，

，

，

，

故选：．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

△是直角三角形，，，

由椭圆的定义可得，，

，

．

故选：．

6．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在△中，由正弦定理知，

，

，即，①

又在椭圆上，，②

联立①②得，

即，

同除以得，，得．

椭圆的离心率的取值范围为．

故选：．

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若

，则该椭圆的离心率不可能是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，因为点在椭圆上，所以，所以，

因为，所以，解得，

由题意可知，即，

由可得，即，显然成立，

由可得，则，又，所以，

故选：．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

△是以为底的等腰三角形，，

过作交于，

则有，

，，

，，

即，解得．

该椭圆的离心率的取值范围是，．

故选：．

9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点，

由题意设直线的方程为，，，，，

联立，整理可得：，

则①，

若，则②，

①②联立，可得，

整理可得：，

解得，

故选：．

10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，由点，向右准线作垂线，设垂足分别为，，

设，，．

由椭圆的第二定义，可得：，．

过点向直线作垂线，设垂足为，则

在中，．

即，

解得．

故选：．

11．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，则，，

而由椭圆的定义可知，

所以，所以，则，

在中，，

所以在△中，，

即，

整理可得：，所以，

故选：．

二．填空题（共6小题）

12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|＝|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为 　　．

【解答】解：因为|AF2|＝|F1F2|，由双曲线的定义可得|AF1|＝2c﹣2a，

由，则|BF1|＝4c﹣4a，所以|BF2|＝|BF1|+2a＝4c﹣2a，

在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠AF1F2＝＝＝，

在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF1F2＝＝＝，

又因为cos∠AF1F2+cos∠BF1F2＝0，即+＝0，整理可得3c2+5a2﹣8ac＝0，

即3e2﹣8e+5＝0，解得：e＝或e＝1（舍），

故答案为：．

13．已知椭圆的左，右焦点为，，为椭圆上一点，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为 　　．

【解答】解：因为，，成等差数列，所以，

即，所以．

故答案为：．

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 　　．

【解答】解：取的中点，连接，

所以可得，

又因为，所以，

即，而为的中点，所以，

可得，

因为，而，所以可得：，，

在△中，由勾股定理可得，

即，

可得，

所以，

故答案为：．

15．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为　　．

【解答】解：如图所示，

圆的直径，是直角；

在△中，，

，

，

，

，

．

故答案为：．

16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 　　．

【解答】解：设，，

由椭圆的定义得①，

由双曲线的定义得②，

①②得，，

①②得，，

由余弦定理可得，

所以③，

设，，

所以，

当即时，最大值为，

此时，

．

故答案为：．

17．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为　　．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为，

直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，

，

直线的方程为，

与联立，可得或，

，

，

．

故答案为：

三．解答题（共1小题）

18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使，求该椭圆的离心率的取值范围．

【解答】解：因为，即，

所以，

由正弦定理可得，即，而，

所以，

即，可得，解得，

所以该椭圆的离心率的范围，．