2024届高考数学-第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题（解析版）

第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　

A． B． C． D．2

【解答】解：如图所示，设线段的中点为，连接．

设椭圆的右焦点为，连接．则．

又，．

设，

在中，，

．

故选：．

2．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为　　

A． B． 

C． D．以上三种可能都有

【解答】解：将点置于第一象限．

设是双曲线的右焦点，连接

、分别为、的中点，．

又由双曲线定义得，

，

．

故

．

故选：．

3．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，设是双曲线的右焦点，连接．

点，分别为线段，的中点，

由三角形中位线定理得到：

，

，连接，因为是圆的切线，

则，

在中，，，

．

．

故选：．

4．设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，已知是和的等差中项，且，则该双曲线的离心率为　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：设，，由是和的等差中项，，

则点在的右支上，

，，即，

，，

由余弦定理可知：，

，

整理得，由，

，由，

解得：，

曲线的离心率为，

故选：．

5．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，延长，，交于点，

是平分线，且，

，为中点，

连接，为中点，为中点

在椭圆中，设点坐标为，

则，，

点在椭圆上，

，，

又当时，不成立，

．

故选：．

6．设，是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为　　

A．定值 

B．定值 

C．定值 

D．不确定，随点位置变化而变化

【解答】解：过点作的垂线，垂足为，交的延长线于，

由三角形为等腰三角形，可得为的中点，

由双曲线的定义可得，

由三角形的中位线定理可得，

故选：．

7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线与椭圆相切于点，椭圆的焦点为，，由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线为法线，即与直线垂直的直线，

而直线，所以设所求的直线的方程为，

联立，整理可得：，解得，

代入直线的方程可得，可得，

即，

将代入所求的直线方程可得：，可得，

所以的角平分线所在的直线的方程为，

故选：．

8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点，反射后，反射光线为射线，则的角平分线所在的直线的斜率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知可得，在第一象限，

将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，

又由双曲线的方程可得，，所以，则，

所以，且点，都在直线上，又，

所以，所以，

设的角平分线为，则，

所以直线的倾斜角为，

所以直线的斜率为，

故选：．

9．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，

分别与联立，解得，，，，

中点坐标为，，

点满足，

，

，

，

．

故选：．

10．椭圆的右焦点为关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，由题意可得，

由①②可得：，，代入③可得：，

解得，

可得，．

即，

可得

解得．

故选：．

二．多选题（共1小题）

11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是　　

A．双曲线的方程为 

B． 

C． 

D．点到轴的距离为

【解答】解：渐近线的方程为，，

到的距离为，，

，

双曲线的标准方程为，即选项正确；

，

，，

由角分线定理知，，即选项正确；

由双曲线的定义知，，

，，

在等腰△中，，

，

，

，即选项正确；

，

，即选项错误．

故选：．

三．填空题（共7小题）

12．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则　2　；点的坐标为　　．

【解答】解：椭圆的，，，

设椭圆的右焦点为，连接，

线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，

连接，可得，

设的坐标为，可得，可得，，

由，，

故答案为：2；，．

13．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 　　．

【解答】解：由于是抛物线的焦点，

得，，准线方程，

设，，，，

，

解得，

线段的中点横坐标为．

线段的中点到轴的距离为．

故答案为：．

14．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．

【解答】解：设，，连接、，

由抛物线定义，得，，在梯形中，．

由余弦定理得，

，

配方得，，

又，

得到．

，

即的最大值为．

故答案为：．

15．设抛物线的焦点为，已知，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　1　．

【解答】解：设，，

由抛物线定义，得，

在梯形中，．

由余弦定理得，

配方得，，

又 ，

得到．

，即的最大值为1．

故答案为：1

16．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．

【解答】解：设，，

由抛物线定义，得，

在梯形中，．

由余弦定理得，

，

配方得，，

又，

得到．

，即的最大值为．

故答案为：

17．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则　6　．

【解答】解：

不妨设在双曲线的右支上

为的平分线

又

解得

故答案为6

18．如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点，处的切线垂直于的角平分线．已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是　　．

【解答】解：由题意知，椭圆在点，处的切线方程为，且，

切线的斜率为，

而的角平分线的斜率为，

又切线垂直于的角平分线，

，即，．

故答案为：，．

四．解答题（共8小题）

19．已知椭圆的左右焦点分别为：，，为椭圆上除长轴端点外任意一点，△周长为12．

（1）求椭圆的方程；

（2）作的角平分线，与轴交于点，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）椭圆的左右焦点分别为：，，，

△周长为12，

，

，则，

椭圆的方程为．

（2）在△中，，即，

为的角平分线，

，

由合比性质得，

即，

，

，

．

20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系．

（1）求截口所在椭圆的方程；

（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．

①是否存在，使得到和到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；

②若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）设所求椭圆方程为，

则，

由椭圆的性质：，所以，

，

所以椭圆的方程为．

（2）由椭圆的方程为，则，．

①存在直线，使得到和到直线的距离之比为定值．

设椭圆上的点，，

则，到直线的距离，

所以，

所以，当时，（定值）．

即存在，使得到和到直线的距离之比为定值．

②设椭圆上的点，，则，

又椭圆在点，处的切线方程为，

证明如下：对于椭圆，

当，，则，

所以椭圆在，处的切线方程为，

又由，可以整理切线方程为：，

即切线方程为，即，也即．

所以椭圆在点，处的切线方程为，

同理可证：当，椭圆在点，处的切线方程为，

综述：椭圆在点，处的切线方程为，

所以在点，处的切线的斜率为，

又由光学性质可知：直线，所以，则．

所以，

，

那么．

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四点，，，，，中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．

求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线．证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

【解答】解：由题意有3个点在椭圆上，根据椭圆的对称性，则点，一定在椭圆上，

即①，（2分）

若点，在椭圆上，则点，必为的左顶点，

而，则点，一定不在椭圆上，

故点，在椭圆上，点，在直线上，（4分）

所以②，

联立①②可解得，，

所以椭圆的方程为；             （6分）

（Ⅱ）证明：由可得直线的方程为，设，，，，

当时，设，、，，显然，

又，即为线段的中点，

，代入椭圆方程相减可得直线的斜率为，（10分）

又，所以直线的方程为，（13分）

即，

显然恒过定点，，（15分）

当时，直线即，此时为轴亦过点，；

综上所述，恒过定点，．          （16分）

22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为．为抛物线的焦点，且，

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于，两点在，之间），设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，，

，所以．（1分）

在△中，为线段的中点，

故，所以．（2分）

于是椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，，，，，取的中点为，．

假设存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形，则．

联立

△．

，．

因为，所以．

．

，

所以．

23．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．

设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．

【解答】解：（1）选择①离心率，可得，，即，

解得，，即有椭圆的方程为；

选②椭圆过点，即有，又，即，解得，

即有椭圆的方程为；

选③△面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，

即为，又，即，，，

即有椭圆的方程为；

（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，

设，，，，可得，，

可得，

设的中点为，可得，，

由题意可得，解得，

可得，

可得，即为定值．

24．已知，，是椭圆上的三个点，是坐标原点．

（Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；

（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．

【解答】解：四边形为菱形，是椭圆的右顶点

直线是的垂直平分线，可得方程为

设，得，解之得（舍负）

的坐标为，同理可得的坐标为

因此，，可得菱形的面积为；

四边形为菱形，，

设，得、两点是圆

与椭圆的公共点，解之得

设、两点横坐标分别为、，可得、两点的横坐标满足

，或且，

①当时，可得若四边形为菱形，则点必定是右顶点；

②若且，则，

可得的中点必定是原点，因此、、共线，可得不存在满足条件的菱形

综上所述，可得当点不是的顶点时，四边形不可能为菱形．

25．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，和，两点，且．（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线为，焦点为，点为直线上的动点，且点的横坐标为，试讨论当取不同的值时，圆心在抛物线上，与直线相切，且过点的圆的个数．

【解答】解：（1）抛物线的焦点，，准线方程为

直线的方程为，

代入可得

，

由抛物线的定义可知，，

，

抛物线的方程为；

（2）设，则过与直线垂直的直线方程为，

与联立，可得，

△，

△，，满足条件的圆的个数是2个；△，，满足条件的圆的个数是1个；△，，满足条件的圆的个数是0个．

26．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

【解答】解：（1）方法一：抛物线的焦点为，

设直线的方程为：，设，，，，

则，整理得：，则，，

由，解得：，则，

直线的方程；

方法二：抛物线的焦点为，设直线的倾斜角为，由抛物线的弦长公式，解得：，

，则直线的斜率，

直线的方程；

（2）由（1）可得的中点坐标为，则直线的垂直平分线方程为，即，

设所求圆的圆心坐标为，，则，

解得：或，

因此，所求圆的方程为或．