2024届高考数学-第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题（原卷版）

第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题

一．选择题（共10小题）

1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　

A． B． C． D．2

2．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为　　

A． B． 

C． D．以上三种可能都有

3．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则等于　　

A． B． C． D．

4．设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，已知是和的等差中项，且，则该双曲线的离心率为　　

A．1 B． C． D．

5．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．设，是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为　　

A．定值 

B．定值 

C．定值 

D．不确定，随点位置变化而变化

7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线与椭圆相切于点，椭圆的焦点为，，由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为　　

A． B． C． D．

8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点，反射后，反射光线为射线，则的角平分线所在的直线的斜率为　　

A． B． C． D．

9．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．

10．椭圆的右焦点为关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是　　

A． B． C． D．

二．多选题（共1小题）

11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是　　

A．双曲线的方程为 

B． 

C． 

D．点到轴的距离为

三．填空题（共7小题）

12．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则　　；点的坐标为　　．

13．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 　　．

14．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．

15．设抛物线的焦点为，已知，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　 　．

16．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．

17．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则　　．

18．如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点，处的切线垂直于的角平分线．已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是　　．

四．解答题（共8小题）

19．已知椭圆的左右焦点分别为：，，为椭圆上除长轴端点外任意一点，△周长为12．

（1）求椭圆的方程；

（2）作的角平分线，与轴交于点，求实数的取值范围．

20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系．

（1）求截口所在椭圆的方程；

（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．

①是否存在，使得到和到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；

②若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四点，，，，，中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．

求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线．证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为．为抛物线的焦点，且，

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于，两点在，之间），设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

23．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．

设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．

24．已知，，是椭圆上的三个点，是坐标原点．

（Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；

（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．

25．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，和，两点，且．（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线为，焦点为，点为直线上的动点，且点的横坐标为，试讨论当取不同的值时，圆心在抛物线上，与直线相切，且过点的圆的个数．

26．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．