2024届高考数学-第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题（解析版）

第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，

双曲线的渐近线被圆，即所截得的两条弦长之和为12，

设圆心到直线的距离为，则，

，

即，

即

，

，

，

由正弦定理可得，

，，，

，

故选：．

2．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在等腰三角形中，，，

可得，

由双曲线的定义可得，

即有．

故选：．

3．已知，为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，△是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为　　

A．4 B． C．2 D．

【解答】解：设，，

△是等腰直角三角形，，

，，

由，

，①

由，

，②

由①②可得，，

由余弦定理可得，

，

，

故选：．

4．已知，分别是双曲线的左右焦点，的右支上的一动点，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：，分别是双曲线的左右焦点，

，，得，双曲线的焦距为，

，，

点在双曲线上运动，，

，

，

，，

当，时，，

当，时，，

，

的取值范围是，．

故选：．

5．已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，△的面积为，且，则双曲线的实轴的长为　　

A．1 B．2 C．4 D．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为，

由一条渐近线方程为，可得，

由双曲线定义有，

两边平方得①

由余弦定理，有，

即为②

由①②可得，

△的面积为，可得，

解得，，

故选：．

6．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则的长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：双曲线的，

在等腰三角形中，，，

可得，

由双曲线的定义可得，

解得，

则，

故选：．

7．已知点和是椭圆上一动点，则的最大值　　

A． B． C． D．

【解答】解：为椭圆左焦点，设右焦点为，则由椭圆定义，于是．

当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，

而当在直线与椭圆交点上时，在第三象限交点时有，在第一象限交点时有．

显然当在直线与椭圆第一象限交点时有最大值，其最大值为

．

故选：．

8．已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与轴的交点，若弦的斜率为，则的正切值为　　

A． B． C．1 D．不存在

【解答】解：抛物线方程为，

焦点坐标为，，准线方程为

点坐标为，

直线经过点，，的斜率为，

设点的坐标为，，，

代入抛物线方程可得，，

可以解得，或（舍去），

，

同理，可以解得，，

．

故选：．

9．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线方程为，

焦点的坐标为，，准线方程为，

如图，设，，，，

过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，

则，

，

把代入抛物线，得，，

直线过点与

方程为，代入抛物线方程，解得，，

，

在中，，

，

故选：．

二．填空题（共8小题）

10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　，　．

【解答】解：法一：，，

，，

，

，

设，则，

，，．

法二：，，令，，

，，，，

，，，

．

故答案为：，．

11．设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　15　，最小值为　　．

【解答】解：将的坐标代入椭圆方程可得，即在椭圆外，

连结、，椭圆的，，，

，，

由椭圆的定义可得，，

，

由，

，

，

的最大值和最小值分别为15和

故答案为：15，．

12．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为　　．

【解答】解：．

，．

，当且仅当三点，，共线时取等号．

故答案为：．

13．已知点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为　　．

【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为，连接，

设圆的圆心为，圆的方程为的圆心为，，半径，

则有，

若，则，，；

线段与圆相切于点，则以及，

则有，

即，

即，

由双曲线的性质有，

则双曲线的离心率；

故答案为：．

14．抛物线的过焦点的弦，为坐标原点，则以为直径的圆与轴有　1　个公共点；抛物线准线与轴交于点，若，　 　．

【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，

设，由抛物线的定义可得，

设的中点为，可得到准线的距离为，

即有到轴的距离为，

则以为直径的圆与轴相切，可得与轴有1个交点；

由，可得直线的斜率为，

即有直线的方程为，代入抛物线的方程，可得

，解得，

即有，，，，，

可得直线的斜率为，

直线的斜率为，

则，，

由，，

解得，

则．

故答案为：1，．

15．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比　　．

【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，，准线方程为如图，设，，，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，则，，

把代入抛物线，得，，

直线过点与，

方程为，代入抛物线方程，解得，

，

在中，，

，

故答案为

16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则　2　．

【解答】解：抛物线的焦点，

过，两点的直线方程为，

联立可得，，

设，，，，

则，，

，，

，

，，，，

，

，

整理可得，，

，

即，

．

故答案为：2

17．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过，则　2　

【解答】解：抛物线的焦点，

过，两点的直线方程为，

联立，可得，

设，，，，

则，，

，，

，

，，，，

以为直径的圆过，，

，

整理可得，，

，

即，解得．

故答案为：2

三．解答题（共1小题）

18．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

【解答】解：（1）设，由得，

，

可得，

又，

可得，，

椭圆方程为：；

设直线的方程为，，，，

由方程组得，

，

解得，或，

由题意可知，

进而得，

由（1）知，，设，

则，

，

由题意得，，

解得，

直线的方程为，

与直线的方程联立，可得点的横坐标

，

在中，由，

得，

得，

，

解得，或，

故直线的斜率的取值范围为：．