2024届高考数学-第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形（解析版）

第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形

一．选择题（共8小题）

1．已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

又，，

又，，

，，

，，

，在轴上．

在△中，，

在△中，由余弦定理可得，

根据，可得，解得，．

．

所以椭圆的方程为：．

故选：．

2．若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设在第一象限，，，

由椭圆的定义可得，

由双曲线的定义可得，

解得，，

则，

故选：．

3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，，△的面积为，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由是双曲线右支上一点，所以，

在△中，由余弦定理有，

所以，所以，

所以，

所以，

所以离心率，

故选：．

4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为，且，则此双曲线的离心率是　　

A． B．2 C．4 D．5

【解答】解：由题意可得：，，

解得，

，

又，

代入化简可得，，

所以，解得．

故选：．

5．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：把代入双曲线，

可得：，

，

，，

，

．

该双曲线的渐近线方程为：．

故选：．

6．已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：把代入双曲线双曲线，可得：，

．

，．

，，

则双曲线的渐近线方程为，

故选：．

7．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：的焦点，

等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于轴轴对称

两个边的斜率，其方程为：，

每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．

故，

故选：．

8．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的一条渐近线方程为，且，则实数的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由题意可知，

联立方程组，消去可得：，

设，，，，则，

，

又，，

．

故选：．

二．多选题（共2小题）

9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则　　

A．以线段为直径的圆与轴相切 

B．当时， 

C．以线段为直径的圆与直线相离 

D．的最小值为3

【解答】解：当直线的斜率不存在时，以线段为直径的圆与轴相切；

当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，

设，，，，

可得，，设，，

可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，

当时，的中点的横坐标为，，得以线段为直径的圆与轴相交，故错；

以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，

设，，，，可得，，

可得，又，可得，，

则，故正确；

的焦点，准线方程为，

设，，在准线上的射影为，，，

由，，，

可得线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故正确；

当直线垂直于轴，可得为通径，取得最小值4，故错误．

故选：．

10．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，，，两点，直线，分别于直线相交于，两点．则下列说法正确的是　　

A．焦点的坐标为 

B． 

C．的最小值为4 

D．与的面积之比为定值

【解答】解：抛物线的方程整理可得：，所以焦点，所以不正确；

由椭圆的焦点在轴可得，直线的斜率一点存在，设直线的方程为：，

联立，整理可得：，所以，所以，故正确；

所以△，，

当轴时最小，这时直线的方程为，代入抛物线的方程可得，，所以，所以最小值为4；所以正确；

由题意可得直线，的方程分别为：，，与的交点分别为，，，，

所以；

到直线的距离，弦长，

所以，

所以，

所以与的面积之比为定值，故正确；

故选：．

三．填空题（共7小题）

11．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则的方程为　　．

【解答】解：由题意可得，设：，由可得，

由椭圆的定义可得，，，

又因为，所以在△中，，即，①

在中，，即，整理可得，②

将②代入①中可得，所以，

所以椭圆的方程为：；

故答案为：．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 　　．

【解答】解：取的中点，连接，

所以可得，

又因为，所以，

即，而为的中点，所以，

可得，

因为，而，所以可得：，，

在△中，由勾股定理可得，

即，

可得，

所以，

故答案为：．

13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为　　．

【解答】解：设内切圆的半径为，

椭圆，

其中，，，则，

与轴垂直，

则有，，

解得：，，

的周长，

其面积，

由内切圆的性质可知，有，解得．

圆心横坐标为，即圆心坐标为，，

则的内切圆方程是，

故答案为：．

14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，．若梯形的面积为，则　2　．

【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，

设，，，，由题意可知，

由，消去得，

由韦达定理得，，

所以梯形的面积为：

所以，又，所以

故答案为2．

15．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为，则　3　．

【解答】解：抛物线方程为，设，点坐标分别为，，，，，

焦点坐标为，，

直线的方程为，

代入抛物线方程得，

，，

，

则梯形的面积为，

．

故答案为：3

16．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，又过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，若梯形的面积为，则　　

【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，

设，，，，由题意可知，．

由，消去得，

由韦达定理得，，

梯形的面积为：

，

又，．

故答案为．

17．在平面直角坐标系中，双曲线．的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的离心率为，若．则　4　．

【解答】解：双曲线的离心率为，即为，

即有，即，

设，，，，

抛物线的焦点，准线为，

可得，

联立抛物线方程和双曲线方程可得：

，即，

可得，

即有，即．

故答案为：4．

四．解答题（共1小题）

18．已知椭圆过点，，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点．

（1）求四边形的面积；

（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：．

【解答】解：（1）依题意，，解得，，

所以椭圆的方程为．

故四边形的面积．

（2）证明：要证，只需证，

因为直线的方程为，即，

所以原点到直线的距离，

所以，

设直线方程为：，，，，，

则，所以；①

由，得

当△，，，

所以

，

由①得，所以．