2024届高考数学-第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式（解析版）

第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即在顶点处取得最大值，不妨取顶点，，则的最大值为，

故选：．

2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：由双曲线的第二定义可知，，

右支上的点，满足，

，

由，

解得，

在右支上，可得，

可得，即，

则，

令，，

可得

而在，递减，

，，

，

故选：．

3．已知点是双曲线上的动点，，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．2

【解答】解：不妨设为右支上的一点，其中，

，，

当时，取得最大值，

，

故选：．

4．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为　　

A．32 B．16 C．24 D．8

【解答】解：因为，要使最小，而，

由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，

所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，

所以直线的方程为：，

，整理可得，，，

所以可得，

所以．

故选：．

5．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，

当直线的斜率不存在时，，

则．此时，，

则；

当直线的斜率存在时，

设，则．

又设点，，，．

联立方程组，

消去并化简得，

，

，

由题知，直线的斜率为，

同理可得．

为定值．

故选：．

二．填空题（共3小题）

6．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是　，　．

【解答】解：设的坐标为

椭圆中，，，

，得椭圆的准线方程为，即

作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连结，

根据圆锥曲线的统一定义，得，

，同理可得，

，

点在椭圆上，得，

，

由此可得，得，

，即，，得，，

，．

故答案为：，

7．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为　　．

【解答】解：根据题意可得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

设直线，

直线，互相垂直，

直线的斜率为，即得，

设，，，，，，，，则分别将直线，的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，

；

由韦达定理可得，，，

由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

，

，

．

故答案为：．

8．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　36　．

【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，

设直线的方程为，，

联立方程组，则，

设，，，，

可得，

由抛物线的定义可得，

由，可将上式中的换为，

可得，

则．

当且仅当时，上式取得等号，

则的最小值为36．

故答案为：36．

三．解答题（共6小题）

9．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

【解答】解：（1）设，，，，

线段的中点为，

，

将，代入椭圆中，可得

，

两式相减可得，，

即，

点在椭圆内，即，

解得

．①

（2）由题意得，设，，则

，，

由（1）及题设得，．

又点在上，所以，从而，．

于是．

同理．

所以，

故，即，，成等差数列．

设改数列的公差为，则②

将代入①得．

所以的方程为，代入的方程，并整理得．

故，，代入②解得．

所以该数列的公差为或．

10．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．

【解答】（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）设，，，，

则有（2分）

（1）（2）得．

，．

．（3分）

．（4分）

由题设可知点在椭圆内，

，解得，

．（5分）

（Ⅱ），为的中点，

，（6分）

，．

点在椭圆上，．（7分）

又．（8分）

由（Ⅰ）知，所以．

直线的方程为，即．（9分）

由直线的方程与椭圆方程联立，得

消化简得，解得，．（10分）

从而得，，

又，

，，．（11分）

，，成等差数列．（12分）

11．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，△的内切圆面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，，是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围．

【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△的内切圆面积的最大值时，

即，取最大值，且，

由，解得，

又由△的周长为定值，

，

又，

可得，即，

，，，

故椭圆方程为，

（2）①当直线和中有一条垂直轴时，，

②当直线的斜率存在但不为0时，设的方程为：，

由

得，代入弦长公式得，，

同理由，消去，代入弦长公式得，

，

令，

则，，

由①②可知的取值范围是，．

12．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：为定值；

（Ⅲ）求的最小值．

【解答】解：由，得，

，

．（1），（1分）

由椭圆过点知，．（2）（2分）

联立（1）、（2）式解得，．（3分）

故椭圆的方程是．（4分）

为定值（5分）

证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．

当直线的斜率不存在时，，

则．此时，，；（6分）

当直线的斜率存在时，

设，则．

又设点，，，．

联立方程组，

消去并化简得，

，（7分）

，（8分）

由题知，直线的斜率为，

同理可得（9分）

所以为定值．（10分）

（Ⅲ）解：由知，

（11分）

，（12分）

当且仅当，

即，即，时取等号（13分）

的最小值为．（14分）

13．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．

（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；

（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．

【解答】解：（1）由已知可得，

则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，，

此时的长即为椭圆长轴长，，

从而．

设直线的斜率为，则，直线的方程为：，

直线的方程为，

设，，，，，，，，

由，消去可得，

由抛物线定义可知：，

由，消去得，

从而，

，

令，

，则，

则，

所以，

所以四边形面积的最小值为8．

14．平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；

（Ⅱ）求的取值范围．

【解答】解：由已知，

（Ⅰ）设，，

，

以右焦点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，

则椭圆的极坐标方程为，即，

其中．

设，，则，，

，

，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

．

，，且，

解得．

记（a），则（a），当时，

（a），（a）为增函数，则（a），，

即，．