2024届高考数学-第18讲 向量的数量积问题（解析版）

第18讲 向量的数量积问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共16小题）

1．已知圆交抛物线的准线于，两点点在上方），且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的斜率．

【解答】解：（1）由题意可得，解得，

所以抛物线的方程为．

（2）由（1）可知焦点的坐标为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

所以，，

抛物线的准线方程为，联立圆的方程，

所以，

所以，，

所以，

不满足，

所以直线的斜率不存在不满足条件．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由，得，

设，，，，

则，，

则，，

又，

所以，，

，

解得，

所以直线的斜率为2．

2．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在原点且过点，过点的直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点．

（1）求抛物线的方程；

（2）是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为，而在抛物线上，

，即，

抛物线的方程为：．

（2）由题意可设，代入，得：，

设，，，，则，，

，

，

，，，，，，

若以为直径的圆经过点，则，

，

，即，．

存在直线，的方程：．

3．已知抛物线过点．

（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．

（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．

【解答】解：（1）将代入，得，解得．

故所求抛物线的方程为，其准线方程为．

（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，

由得．

直线与抛物线有公共点，

△，解得，

由直线与的距离，可得，解得．

，，

符合题意的直线存在，其方程为．

（3）由题意可知：设，，，，

设直线的斜率为，则的方程为，联立，得，

，．

，直线的斜率为，方程为，设，，，．

联立，化为，

，．

，当且仅当时取等号．

当时，的最小值为16．

4．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点，直线，分别交直线于点，

（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；

（2）已知为原点，求证：为定值．

【解答】解：（1）将代入，得，

抛物线方程为，焦点坐标为，，准线方程；．（3分）

（2）证明：设，，，，，，，，

因为直线不经过点，则直线的斜率存在，

设直线方程为，

与抛物线方程联立得到，消去，整理得：，

则由韦达定理得：，，（6分）

直线的方程为：，

即，

令，得，（9分）

同理可得：，（10分）

又，，

则，

（13分）

，即为定值．（14分）．

方法二：证明：设，，，，，，，，

设直线方程为，

于抛物线方程联立得，整理得：，

则由韦达定理得：，，（6分）

直线的方程为：，

即，

令，得，（9分）

同理可得：，（10分）

又，，

则，

（13分）

，即为定值．（14分）

5．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．

（1）分别求抛物线和椭圆的方程；

（2）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：；

（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线，，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由．

【解答】解：（1）抛物线 的焦点为，

可得，解得，

可得抛物线的方程为；

设椭圆的方程为 ，半焦距为．

由已知可得：，，，

解得，．

所以椭圆的方程为；

（2）证明：显然直线的斜率存在，

否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，

故可设直线的方程为，

设，，， ，

代入抛物线方程，消去并整理得，．

抛物线的方程为，求导得，

过抛物线上、两点的切线方程分别是，，

即，，

解得两条切线，的交点的坐标为，，即，，

，，，

．

（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，

又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，

设过点且与抛物线相切的切线方程为，其中点，为切点．

令，，得，解得或，

故不妨取，，即直线过点．

综上所述，椭圆上存在一点，

经过点作抛物线的两条切线、、为切点），能使直线过点．

此时，两切线的方程分别为和．

6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程．

【解答】解：（1）满足，可得的横坐标为，纵坐标为，

再由，可得，，

解得，，

所以椭圆的方程为：；

（2）证明：设，，，，

联立，整理可得：，

则，，，

因为，即，

则，

即，

可得，

原点到直线的距离为定值，

所以可证：存在一个确定的圆与直线相切．

7．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．

（1）求双曲线的离心率；

（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，

（ⅰ）求双曲线方程；

（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

【解答】解：（1）由轴时，为等腰直角三角形，

可得，

所以，

即，

故，

因为，

解得，

故双曲线的离心率为2；

（2）由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点的距离最小，

最小距离为，

即，

又，

所以，，

所以，

所以双曲线的方程为：，

由题知直线的斜率不为0，

设直线，

，，，，

联立直线与双曲线的方程得，化简得，

，

根据根与系数的关系得，

，，①

所以，②

，③

设直线，

直线，

令，可得，，，，

设是以为直径的圆上的任意一点，

则，

则以为直径的圆的方程为：，

由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，

令，可得，

即，

将①②③代入，可得，

即，

解得或2，

所以以为直径的圆过定点，．

8．已知，是椭圆的左、右焦点圆与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．

【解答】解：（1）因为圆与椭圆有且仅有两个公共点，

所以，

由题意，得，解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，得，

所以△，

设，，，，由根与系数的关系可得，

，，

而，，，，

所以

，

由为定值，可得，即，

解得或（满足△，

所以直线的方程为或，

所以直线过定点或，此时定值为，

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

不妨令，，

则，

又为定值，所以，

直线的方程为，

此时直线过点，，，符合题意，

综上，若为定值，则直线过定点或，且定值为．

9．设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求．

【解答】解：（1）设，由直线是双曲线的一条渐近线，可得①，

因为双曲线的准线方程为，

则，可得，所以，

由双曲线的对称性，可得，

结合四边形的面积为4，可得，解得，

结合①，可得，

所以双曲线的方程为；

（2）①当直线的斜率存在时，对于圆，

不妨考虑，

则由，可得，

所以，

所以；

②当直线的斜率存在时，设，

因为这些与相交于，两点，所以，

因为这些与圆相切，

所以，即，

设，，，，

联立方程组，可得，

结合，可得△，

则，

所以

，

结合，可得．

综上所述，．

10．已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．

【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，又，由此解得，．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）点在以为直径的圆内．证明如下：

方法1：由（Ⅰ）得，．设，．

点在椭圆上，．　①

又点异于顶点、，．

由、、三点共线可以得．

从而，，．

．　②

将①代入②，化简得．

，，于是为锐角，从而为钝角，

故点在以为直径的圆内．

方法2：由（Ⅰ）得，．设，，，，

则，，又的中点的坐标为，

依题意，计算点到圆心的距离与半径的差

　③

直线的方程为，直线的方程为，

而两直线与的交点在直线上，

，即　④

又点在椭圆上，则，即　⑤

于是将④、⑤代入③，化简后可得．

11．已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【解答】解法一：（1）由已知得，解得，

椭圆的方程为．

（2）设点，，，中点为，．

由，化为，

，，．

，

．

，

故．

，故在以为直径的圆外．

解法二：（1）同解法一．

（2）设点，，，则，．

由，化为，

，，

从而

．

，又，不共线，

为锐角．

故点在以为直径的圆外．

12．已知圆，经过椭圆的右焦点及上顶点，过圆外一点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围．

【解答】解：（1）圆经过点，．

，

，．

故椭圆的方程为，（4分）

（2）设直线的方程为．

由消去得，

设，，，，则，（6分）

．

，，，，（8分）

（10分）

点在圆的内部，，即，

解得，

由△，解得．

又，，（12分）

13．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形．

【解答】解：（Ⅰ）由题意：，所以，所求椭圆方程为；

又点在椭圆上，，；

故所求椭圆方程为：．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，，设，，，

则直线的方程为：，；

由得；

因为直线与椭圆相交于异于的点，所以，所以；

由，得，所以；

从而，；所以．

又，，三点不共线，所以为钝角；所以为钝角三角形．

14．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，证明点在以为直径的圆内．

【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，

解得，，从而．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．

设，．

点在椭圆上，

（1）

又点异于顶点、，

，由、、三点共线可以得

．

从而，，．

．（2）

将（1）代入（2），化简得．

，

，则为锐角，从而为钝角，

故点在以为直径的圆内．

15．设，分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线是它的右准线．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为椭圆右准线上不同于点的任意一点，若直线于椭圆相交于两点，，求证：为锐角．

【解答】解：（Ⅰ）依题意得，解得，

从而．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，设，，

点在椭圆上，①

又点异于顶点、，，

由、、三点共线可得，

从而，．

②

．

，，

于是为锐角．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若△的周长为6，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点．

【解答】（Ⅰ）解：设、，由已知可得①，

②又③，

由①②③可求得，，

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）证明：由题意知，．设，，

则直线的方程为，当时，，

所以，

又点，在椭圆上，

所以，

因为，，

所以，因此以为直径的圆过点．