2024届高考数学-第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结（原卷版）

第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结

一．解答题（共16小题）

1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、．

（1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程．

2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．

3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率．

4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．

（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：

（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．

5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程．

6．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7．如图，已知椭圆经过点，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．

8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围．

9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，

（1）求抛物线的方程；

（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．

10．设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点．

（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；

（2）若，求直线的方程；

（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）

11．如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴．

（1）求椭圆的方程；

（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．

13．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为．判断是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．

（1）圆上点，处的切线方程为 　　．理由如下：　　．

（2）椭圆上一点，处的切线方程为；

（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是 　　．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；

（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，

化简得△得．

若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 　　．

（5）抛物线上一点，处的切线方程为；

（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．

15．如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点．

（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？

（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点．

（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值．

（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．

（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．

（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？①点在椭圆上；②点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

16．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．

（1）求抛物线的焦点坐标；

（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；

（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．