2024届高考数学-第9讲 破解离心率问题之顶底角公式（解析版）

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1．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，
，
在直角三角形中，，可得，，
取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，
，
，
，
，
，
故选：．
2．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，
张角达到最大值．由此可得：
存在点为椭圆上一点，使得，
△中，，可得△中，，
所以，即，其中
，可得，即
椭圆离心率，且
故选：．
3．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则该椭圆离心率的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：
在以为直径，原点为圆心的圆上，
圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即：
，，
由可得：
故选：．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设，，由余弦定理得：
，
，又，即，
解得，，
，，
得，，．
故选：．
5．椭圆的焦点、在轴上，点为椭圆上一点且不大于，则它的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为椭圆中位于短轴端点时，最大，
由题意可知，
所以，即，
解得．
又因为，
，
解得．
所以．
故选：．
6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：点，是长轴的两个端点，
若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，
即当为短轴端点时，即可，如图所示，
，
，
又，
该椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
二．多选题（共3小题）
7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有
A．△的周长为6B．△的最大面积为
C．存在点使得D．的最大值为5
【解答】解：根据题意可得，，，
对于：△的周长为，故正确，
对于：△的最大面积为，故正确，
对于：若要存在点使得，则，
即点在以为直径的圆上，且，
所以点为以为直径的圆与椭圆的交点，
而椭圆的短轴一半长为，
所以不存在点，故错误，
对于，
所以最大值为5，故正确，
故选：．
8．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的一个的值
A．B．C．D．
【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．
椭圆上存在点使得是钝角，
△中，，
△中，，
，即，
，可得，
，
又，，
结合选项可得，满足条件的一个的值为．
故选：．
9．已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，2，3，，，，，组成公差为的等差数列，则
A．的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为
D．椭圆上存在点，使
【解答】解：由已知椭圆方程可得：，，，
由椭圆的性质可得：当点为椭圆的短轴端点时，最大，且此时三角形的面积也最大，
此时，正确，错误，
椭圆上的动点满足，即，
又椭圆上至少有21个不同的点组成公差为的等差数列，所以的最大值为8，正确，
设已知的等差数列为，公差为，
则，，又，所以，
所以，即的最大值为，正确，
故选：．
三．填空题（共7小题）
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为 ， ．
【解答】解：法一：，，
，，
，
，
设，则，
，，．
法二：，，令，，
，，，，
，，，
．
故答案为：，．
11．椭圆的左右焦点为，，是椭圆上一点，若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ， ．
【解答】解：椭圆的左右焦点为，，是椭圆上一点，若，且，
可得，则，短轴的端点与两个焦点所成角大于等于，
．因为，所以．
故答案为：．
12．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是 ．
【解答】解：，可得，
在中，，
，
在直角三角形中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，
，
．
故答案为：．
13．已知、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【解答】解：、是椭圆的焦点，
是椭圆上一点，且，
以为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径，
，，
，又，
椭圆的离心率的取值范围是，，
故答案为，．
14．已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为 ， ．
【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当点位于短轴端点处时，
张角达到最大值．
由此可得：存在点为椭圆上一点，使得，
△中，，
△中，，
所以，即，
，可得，
，
，
．
故答案为：，．
15．设椭圆两焦点为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 ， ．
【解答】解：点满足，
点的轨迹是以为直径的圆，其方程为．
又椭圆上存在点，使得，
以为直径的圆与椭圆有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，
，即，化简得，解得．
因此，椭圆的离心率．
椭圆离心率在之间取值，
椭圆的离心率，．
故答案为：，
16．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围 ， ．
【解答】解：如图，
当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，
因为椭圆上存在点使得是钝角，
所以△中，，
所以直角三角形中，，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
又，
所以，
故答案为：，．