2024届高三数学一轮复习基础夯实练2：常用逻辑用语

基础夯实练2  常用逻辑语

1．(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为(　　)

A．∀x∉Q，都有x∉N   B．∃x∉Q，使得x∈N

C．∀x∈Q，都有x∈N   D．∃x∈Q，使得x∈N

3．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<4   B．a≤4

C．a>4   D．a≥4

4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

5．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥4   B．a≥5

C．a≤4   D．a≤5

6．(多选)下列命题是真命题的是(　　)

A．所有的素数都是奇数

B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0

C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件

D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”

7．(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．3

8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

9．命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是________．

10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．

11．已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________．

12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________．

13．(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　)

A．(－∞，－5)   B．(－3，－1]

C．(3，＋∞)   D．[0,3]

14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．

15．(2022·九江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的(　　)

A．充要条件   B．必要不充分条件

C．充分不必要条件   D．既不充分也不必要条件

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

参考答案

1．B　2.C　3.B　4.C　5.B　6.CD

7．AB　[由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，

所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋，

当x∈(0,2)时，由基本不等式可得

2x＋≥2＝2，

当且仅当x＝时，等号成立，

所以λ≤2.]

8．B　[命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”．

根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；

当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件．]

9．∃x∈，sin x≥cos x

10．x<－1(答案不唯一)

11．(－∞，－4]∪[6，＋∞)

12.

解析　设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，

若α是β的必要条件，则B⊆A，

当2m－1>－m，即m>时，

此时A＝R，B⊆A成立；

当2m－1≤－m，即m≤时，

若B⊆A，此时无解．

综上，m>.

13．AB　[∵∃x∈M，x>3为假命题，

∴∀x∈M，x≤3为真命题，

可得M⊆(－∞，3]，

又∀x∈M，|x|>x为真命题，

可得M⊆(－∞，0)，

∴M⊆(－∞，0)．]

14．乙

解析　四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙．

15．B　[当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立；

若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k，

有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或.

当k＝时，an＋1＝an＋，此时an＝1，充分性不成立．]

16．C　[在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.

设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)，

则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，

sin x∈(0,1]，

∴f′(x)≥0，

∴f(x)在(0，π)上单调递增，

∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cos B．]