2024届高三数学一轮复习基础夯实练5：一元二次方程、不等式

基础夯实练5  一元二次方程、不等式

1．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)

A．x2＋x－2>0   B．－x2＋x－2>0

C．－x2＋x－2<0   D．2x2－3x＋2>0

2．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1<a<2   B．a≥1

C．a<－1   D．－1≤a<2

3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　)

A.   B.

C．{x|－2<x<1}   D．{x|x<－2或x>1}

4．(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　)

A．α<m<n<β   B．m<α<n<β

C．m<α<β<n   D．α<m<β<n

5．(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　)

A．(1，a)   B．(－∞，1)∪(a，＋∞)

C．(－∞，a)∪(1，＋∞)   D．∅

6．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

7．不等式>x的解集是________．

8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________．

9．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：

(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；

(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

10．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.

(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1.

11．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．3

12．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m<n)，有下列四个结论：

甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0.

如果只有一个假命题，则假命题是(　　)

A．甲  B．乙

C．丙   D．丁

13．下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法：

因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，又不等式ax2－bx＋c>0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}．

参考上述解法，解答问题：

若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2<x<－1或1<x<3}．则关于x的不等式＋<0的解集为(　　)

A.∪ B．(－1,1)∪(1,3)

C．(－3，－1)∪(1,2) D.∪

14．已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是________．

参考答案

1．CD　2.D　3.A　4.C　5.BCD

6．AB　7.(－∞，－1)∪(1,5)　8.－4

9．解　(1)选①：

>1，若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，

解得－1<x<3，

若x＋1<0，则<0，

则>1无解，

所以>1的解集为(－1,3)，

故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，

故B＝(0,1)，

则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．

选②：

x2－2x－3<0，解得－1<x<3，

故A＝(－1,3)，

m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，

解得0<x<1，故B＝(0,1)，

则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．

选③：

|x－1|<2，－2<x－1<2，

解得－1<x<3，

故A＝(－1,3)，

m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，

解得0<x<1，

故B＝(0,1)，

则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．

(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．

由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，

即(x－m)[x－(m＋1)]<0，

解得B＝(m，m＋1)，

因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，所以

或

解得－1≤m≤2，

故m的取值范围为[－1,2]．

10．解　(1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，

当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，

此时必有

即解得a≥，

所以实数a的取值范围是.

(2)依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2＋(1－a)x－1<0⇔(x－1)>0，

当a＝－1时，－＝1，

解得x≠1；

当－1<a<0时，－>1，

解得x<1或x>－；

当a<－1时，0<－<1，

解得x<－或x>1，

所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，原不等式的解集为；

当a<－1时，原不等式的解集为.

11．CD　[∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，

①当x＝0时，a∈R；

②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5

⇔x－≤a≤x＋，

当x∈(0,3]时，min＝2＋＝4，max＝3－2＝1，

∴1≤a≤4，

综上，1≤a≤4.]

12．B　[假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；

假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，所以ac<0，符合题意；

假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；

假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意．]

13．A　[因为x＝0不是不等式＋<0的解，

所以不等式＋<0等价于＋<0，

所以－2<－<－1或1<－<3，解得－1<x<－或<x<1.]

14．m≥－

解析　∵cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，

∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2

＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.

设x＝sin θ(0<x<1)，

f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.

由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立．

当对称轴x＝m≤0时f(x)在x∈(0,1)上单调递减，

则f(x)<f(0)＝－2m－1≤0，

即－≤m≤0，

当对称轴0<x＝m<1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0，

解得1－<m<1＋，

即0<m<1，

当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，

则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1.

综上所述，m≥－.