2024届高三数学一轮复习基础夯实练10：函数性质的综合应用

基础夯实练10  函数性质的综合应用

1．(2022·湖北九师联盟模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]   B．[－2,2]

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)   D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f 等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

3．(2023·许昌质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝－log310，，，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A．f(a)>f(c)>f(b)   B．f(a)>f(b)>f(c)

C．f(b)>f(a)>f(c)   D．f(c)>f(a)>f(b)

4．(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

5．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝lg是奇函数，则使得0<f(x)<1的x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.∪

6．(多选)(2023·盐城模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称

B．g(2 023)＝0

C．g(x)的最小正周期为4

D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)

7．(多选)已知奇函数f(x)在(0,1]上单调递减，且满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数

B．函数f(x)是以4为周期的周期函数

C．函数f(x－1)为奇函数

D．函数f(x)在[5,6)上单调递增

8．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列命题正确的是(　　)

A．f(x)＝f(x－16)   B．f(11)＝1

C．f(2 022)＝－f(0)   D．f(2 021)＝f(－3)

9．(2023·南昌模拟)已知f(x)为定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上单调递减，则满足不等式f(2a)<f(4a－1)的a的取值范围是________．(用区间表示)

10．(2022·济宁模拟)已知函数f(x)＝e|x－1|－sin x，则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是________．

参考答案

1．A　2.C　3.C　4.C

5．C　[令f(0)＝lg(2＋a)＝0，

得a＝－1，

所以f(x)＝lg＝lg ，定义域为(－1,1)，

f(－x)＝lg ＝－lg 

＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，

因为y＝＝－1在(－1,1)上单调递减，

所以f(x)在(－1,1)上单调递减，

又f(0)＝0，f ＝1，所以使得0<f(x)<1的x的取值范围是.]

6．ABD　[因为f(x)为R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，

所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，

所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确；

由A分析知f(x)＝f(2－x)

＝－f(－x)，

故f(2＋x)＝－f(x)，

所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数，

则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确；

但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误．]

7．ABC　[对于选项A，B，∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(x)＋f(2－x)＝0，

∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，

则－f(x)＋f(2＋x)＝0，

即f(2＋x)＝f(x)，

故函数f(x)是最小正周期为2的周期函数，由此可知选项A，B正确；

对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)．

在f(x)＋f(2－x)＝0中，将x换为x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，

∴f(x＋1)＝－f(1－x)，

∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)

＝－f(x－1)＝－F(x)，

则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，

∴选项C正确．

对于选项D，由函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，

则函数f(x)在[5,6)上的单调性等价于函数f(x)在[－1,0)上的单调性，

又奇函数f(x)在(0,1]上单调递减，∴函数f(x)在[－1,0)上单调递减．∴选项D不正确．]

8．ACD　[因为f(2x＋1)是偶函数，

所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，

令t＝2x＋1，则2x＝t－1，

故－2x＋1＝2－t，

所以f(t)＝f(2－t)，

即f(x)＝f(2－x)，

所以函数f(x)关于直线x＝1对称，

因为f(x－1)是奇函数，所以f(－1)＝0，且函数f(x－1)关于(0,0)对称，

又因为函数f(x－1)是由函数f(x)向右平移1个单位长度得到，

所以f(x)关于(－1,0)对称，

所以f(－x－1)＝－f(x－1)，

所以f(x)＝－f(－x－2)，

所以f(2－x)＝－f(－x－2)，

则f(x)＝－f(x－4)＝f(x－8)，

即f(x)＝f(x＋8)，

所以函数f(x)的一个周期为8，

故有f(x)＝f(x＋(－2)×8)

＝f(x－16)，故A正确；

由函数f(x)关于直线x＝1对称，

f(－1)＝0，所以f(3)＝f(－1)＝0，

所以f(11)＝f(3)＝0，故B错误；

因为f(2 022)＝f(8×253－2)

＝f(－2)，

因为f(x)关于(－1,0)对称，

所以f(－2)＝－f(0)，

所以f(2 022)＝－f(0)，故C正确；

又f(2 021)＝f(8×253－3)

＝f(－3)，故D正确．]

9.

10.

解析　令g(x)＝e|x|－cos x，将其向右平移1个单位长度，

得y＝e|x－1|－cos＝e|x－1|－sin x，

所以f(x)＝e|x－1|－sin x是由函数g(x)向右平移1个单位长度得到的．

而易知g(x)是偶函数，

当x>0时，g(x)＝ex－cos x，

g′(x)＝ex＋sin x；

当0<x≤2时，显然g′(x)>0；

当x>2时，ex>e2，

－≤sin x≤，

所以g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．

从而可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．

所以当f(x)>f(2x)时，有|x－1|>|2x－1|，解得0<x<.