2024届高三数学一轮复习基础夯实练12 ：指数与指数函数

基础夯实练12  指数与指数函数

1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　)

A．－7  B．－1  C．1  D．7

2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　)

A.  B．1  C.  D．2

3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

4．已知＝5，则的值为(　　)

A．5  B．23  C．25  D．27

5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　)

A．2a＋2b>2

B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1

C．2a＋2b＝2

D．a＋b<0

6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝

x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为(　　)

A．(0,6]   B．(0,20]

C．[2,6]   D．[2,20]

7．计算化简：

(1)＝________；

(2)＝________.

8．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．

9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．

(1)求实数k的值；

(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．

10．(2023·武汉模拟)函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值．

11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　)

A．a＋b＝0

B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0

C．若x<y<0，则f(x)<f(y)

D．f(x)的值域为[0,2)

12．(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．

13．(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为(　　)

A．f(cx)≥f(bx)   B．f(cx)≤f(bx)

C．f(cx)>f(bx)   D．f(cx)＝f(bx)

14．(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．

参考答案

1．C　2.D　3.D　4.B　5.CD　6.C

7．(1)0.09　(2)

解析　(1)＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.

(2)

＝

＝

＝

8．(－1,1)

解析　因为函数

f(x)＝3x＋1－4x－5，

所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，

在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，

因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，

B(－1,1)，

所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，

所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)．

9．解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝a0－(k－1)a0

＝1－(k－1)＝0，

∴k＝2，

经检验k＝2符合题意，∴k＝2.

(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，

∵f(1)<0，

∴a－<0，又a>0，且a≠1，

∴0<a<1，

从而y＝ax在R上单调递减，

y＝a－x在R上单调递增，

故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，

不等式f(m2－2)＋f(m)>0

可化为f(m2－2)>f(－m)，

∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，

解得－2<m<1，

∴实数m的取值范围是(－2,1)．

10．解　由f(x)＝a2x＋ax＋1，

令ax＝t，则t>0，

则y＝t2＋t＋1＝2＋，其对称轴为t＝－.

该二次函数在上单调递增．

①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈，

故当t＝a，即x＝1时，

ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．

②若0<a<1，由x∈[－1,1]，

可得t＝ax∈，

故当t＝，即x＝－1时，

ymax＝2＋＋1＝13.

解得a＝或a＝－(舍去)．

综上可得，a＝3或.

11．ABD　[∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点，

∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a，

且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，

∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2，故A正确；

由于f(x)为偶函数，

故若f(x)＝f(y)，且x≠y，

则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；

由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，

故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；

∵|x|∈(0,1]，

∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．]

12．1＋2ln 2

解析　依题意，ex＝ey＋e，ey>0，

则e2x－y＝＝

＝ey＋＋2e

≥2＋2e＝4e，

当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”，

此时，(2x－y)min＝1＋2ln 2，

所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.

13．A　[根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，

则有＝1，即b＝2，

又由f(0)＝3，得c＝3，

所以bx＝2x，cx＝3x，

若x<0，则有cx<bx<1，

而f(x)在(－∞，1)上单调递减，

此时有f(bx)<f(cx)，

若x＝0，则有cx＝bx＝1，

此时有f(bx)＝f(cx)，

若x>0，则有1<bx<cx，

而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

此时有f(bx)<f(cx)，

综上可得f(bx)≤f(cx)．]

14.

解析　∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，

∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，

∴＋m－1＝－－m＋1，

∴2m＝－－＋2，

构造函数y＝－－＋2，

x0∈[－1,1]，

令t＝，t∈，

则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，

在(1,3]上单调递减，

∴当t＝1时，函数取得最大值0，

当t＝或t＝3时，

函数取得最小值－，

∴y∈，

又∵m≠0，∴－≤2m<0，

∴－≤m<0.