2024届高三数学一轮复习基础夯实练23：任意角和弧度制、三角函数的概念

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练23：任意角和弧度制、三角函数的概念，共8页。试卷主要包含了如图所示的时钟显示的时刻为4，2π－2eq \r等内容，欢迎下载使用。
基础夯实练23  任意角和弧度制、三角函数的概念1．与－2 023°终边相同的最小正角是(　　)A．137°  B．133°  C．57°  D．43°2．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P，则cos θ等于(　　)A.  B．－  C.  D．－3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为(　　)A.  B.  C.  D.4．(2023·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　)A．1 069千米   B．1 119千米C．2 138千米   D．2 238千米6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(　　)A．2.58 m2   B．2.68 m2C．2.78 m2   D．2.88 m27．(2023·安阳模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________．8.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．                 10．如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；(2)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)                   11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为(　　)A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)12．(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　)A.   B.C.   D.13．已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值为(　　)A．1  B．－1  C．3  D．－314．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5 m，直道长为28.85 m，点O为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q(终点Q为直道的中点)．若从P点滑行到Q点的距离为31.425 m，则∠PON等于(　　)A.  B.  C．2  D.15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为(　　)A.  B.  C.  D.16．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．
参考答案1．A　2.D　3.C　4.B　5.D　6.D7.8．2π－2解析　由条件可知，弧长＝＝＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面积S＝×2×＝.所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.9．解　(1)由＝－，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，sin α＝＝＝＝－.10．解　(1)由题意知，若点B的横坐标为－，可得B的坐标为，∴sin α＝，于是α＝＋2kπ，k∈Z，与角α终边相同的角β的集合为.(2)△AOB的高为1×cos  ，AB＝2sin ，故S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α，故弓形AB的面积S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈.11．D　[∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．]12．AD　[由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是，当k＝1时，x所在的一个区间是.]13．B　[因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，A＋C>，即A>－B，C>－A，所以sin A>cos B，sin C>cos A，所以θ是第四象限角，所以＋＋＝－1＋1－1＝－1.]14．C　[扇形PON的弧长为31.425－×28.85＝17，故∠PON＝＝2.]15．B　[设直角三角形的短直角边为x，一个直角三角形的面积为＝20，小正方形的面积为20，则边长为2.大正方形的面积为100，则边长为10.直角三角形的面积为·x(x＋2)＝20⇒x＝2. 则直角三角形的长直角边为4.故sin α＝，cos α＝，即sin αcos α＝.]16．3　(＋2)π解析　正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为，半径分别为2,2，2的三段弧，故路径长l＝·(2＋2＋2)＝，所以点A与P重合时总路径长为(＋2)π.