2024届高三数学一轮复习基础夯实练31：解三角形及其应用举例

基础夯实练31  解三角形及其应用举例

1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为(　　)

A．12海里   B．8海里

C．8海里   D．8海里

2．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　)

A．7 350 m   B．2 650 m

C．3 650 m   D．4 650 m

3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是(　　)

A. km   B．2 km

C. km   D．4 km

4．(2022·洛阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，则A的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D.

5．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B, 则cos B＋sin C的取值范围为(　　)

A．(0，]   B．(1，]

C.   D.

6．(多选)(2022·重庆模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是(　　)

A．△ABC的内角B＝

B．△ABC的内角C＝

C．△ACD的面积为

D．四边形ABCD面积的最大值为＋3

7．(2022·南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量与同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米(结果保留整数，参考数据：≈1.732)．

8．(2022·六安模拟)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．

9．(2022·益阳模拟)在①＋＋1＝；②(a＋2b)cos C＋ccos A＝0；③asin ＝csin A，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．

(1)求角C的大小；

(2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

10．(2022·西安模拟)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．

(1)求sin C；

(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．

11．(多选)(2023·宁波模拟)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离12 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有(　　)

A．AD＝24

B．CD＝12

C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°

D．∠CDA＝60°

12．(2023·咸阳模拟)数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若＝，b＝2，则△ABC面积S的最大值为(　　)

A.  B.  C．2  D.

13．(2022·烟台模拟)我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB＝h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC＝________.

14．(2023·遵义模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin ＝asin B，a＝，则△ABC周长的最大值为________．

15．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，则四边形ABCD面积的最大值等于(　　)

A.  B.＋1  C.＋1  D．2

16.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝2，则＝________，AB＋AC的最大值为________．

参考答案

1．D　2.B

3．B　[方法一　由题意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PD＝x，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，

∴tan α＝，tan β＝x，

∴tan∠BPC＝tan(β－α)

＝＝＝，

解得x＝1或x＝2，

又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.

方法二　由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，

则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.

由tan∠BPC＝，

可得cos∠BPC＝，

在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2··，解得x2＝3，

进而PD＝＝2.]

4．D

5．C　[依题意b＝2asin B，

由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，

因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，

所以sin A＝，

由于△ABC是锐角三角形，

所以A＝，cos A＝，

由⇒<B<.

所以cos B＋sin C

＝cos B＋sin

＝cos B＋cos B＋sin B

＝cos B＋sin B

＝sin，

由于<B＋<，

所以sin∈.]

6．ABD　[∵(acos C＋ccos A)＝2bsin B，

由正弦定理得

(sin Acos C＋sin Ccos A)

＝2sin B·sin B，

∴sin B＝，∴B＝.故A正确；

又∵∠CAB＝，

∴∠ACB＝，故B正确；

由于S△ACD＝×1×3sin D＝sin D，由于角D无法确定，故C不一定正确；

在等边△ABC中，设AC＝x，x>0，

在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D，

由于DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cos D，

∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝x·xsin ＋×1×3sin D＝x2＋sin D

＝(10－6cos D)＋sin D

＝3sin＋，

∴当D＝时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为＋3，故D正确．]

7．14

8．2＋

解析　ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，

由正弦定理得sin Ccos B＋(2sin A＋sin B)cos C＝0，

即sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，

所以sin(B＋C)＋2sin Acos C＝0，

即sin A(1＋2cos C)＝0，

因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，

所以cos C＝－，

因为C∈(0，π)，所以C＝，

因为△ABC的外接圆面积为π，所以△ABC的外接圆半径为1，

所以由正弦定理得＝＝2，解得c＝，

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝(a＋b)2－ab＝3，

则ab＝(a＋b)2－3，

由基本不等式得ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，

所以(a＋b)2－3≤，

解得a＋b≤2，

所以△ABC周长的最大值是2＋.

9．解　(1)选择条件①：由＋＋1＝及正弦定理，

得＋＋1＝，

即a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝＝－，

因为0<C<π，所以C＝.

选择条件②：由(a＋2b)cos C＋ccos A＝0及正弦定理，

得(sin A＋2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，

即sin Acos C＋cos Asin C

＝－2sin Bcos C.

即sin(A＋C)＝－2sin Bcos C.

在△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，

即sin B＝－2cos Csin B，

因为0<B<π，所以sin B≠0，

所以cos C＝－，

因为0<C<π，所以C＝.

选择条件③：由asin ＝csin A及正弦定理，

得sin Asin ＝sin Csin A，

因为0<A<π，所以sin A≠0，

所以sin ＝sin C.

在△ABC中，A＋B＋C＝π，

则sin ＝cos ，

故cos ＝2sin cos .

因为0<C<π，所以cos ≠0，

则sin ＝，故C＝.

(2)因为∠ADC＋∠BDC＝π，

所以＋＝0，

整理得2CD2＝a2＋b2－8，

在△ABC中，由余弦定理得42＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab.

因为ab≤，当且仅当a＝b时取等号，

所以16＝a2＋b2＋ab≤a2＋b2＋

(a2＋b2)＝(a2＋b2)，

即a2＋b2≥，

所以2CD2＝a2＋b2－8≥－8＝，即CD≥，

即CD长度的最小值为.

10．解　(1)由sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)及正弦定理，

得absin C＝(a2＋b2－c2)，

又由余弦定理得

absin C＝abcos C.

所以tan C＝，C为锐角，

则C＝，

所以sin C＝.

(2)由2R＝＝得R＝1.

所以△ABC的周长为

a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B)＋

＝2(sin A＋sin B)＋

＝2sin A＋2sin B＋

＝2sin A＋2sin＋

＝3sin A＋cos A＋

＝2sin＋，

因为A∈，－A∈，

所以A∈，

A＋∈，

所以2sin＋∈(3＋，3]，

即a＋b＋c∈(3＋，3]．

所以△ABC周长的取值范围为(3＋，3]．

11．ABD　[如图，在△ABD中，B＝45°，

由正弦定理得＝，

则AD＝＝24，故A正确；

在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos 30°，

因为AC＝12，AD＝24，

所以CD＝12，故B正确；

由正弦定理得＝，

所以sin∠CDA＝，

故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°，

因为AD>AC，故∠CDA为锐角，

所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．]

12．A　[因为＝，

所以tan C＝，

又tan C＝，

所以＝，

所以sin Bcos C＝sin C(1－cos B)，

所以sin Bcos C

＝sin C－sin Ccos B，

所以sin C＝(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝sin(B＋C)

＝sin A，

由正弦定理得c＝a，

因为b＝2，

所以△ABC的面积

S＝

＝

＝，

将a2看成整体并利用二次函数性质得，当 a2＝4即 a＝2时， △ABC 的面积S 有最大值，最大值为. ]

13.

解析　依题意可得∠ADC＝β，∠BDC＝α，AB＝h，

在Rt△ADC中，＝tan β，在Rt△BDC中，＝tan α，

又AC－BC＝h，所以＝，

解得BC＝.

14．3

解析　因为bsin＝asin B，

所以由正弦定理得

sin Bsin＝sin Asin B，

又sin B≠0，

故sin＝sin A，

即cos ＝sin A.

由二倍角公式有

cos ＝2sin cos ，

因为∈，

故cos ≠0，

所以sin ＝，

所以＝，即A＝.

由余弦定理得

()2＝b2＋c2－2bccos ，

结合基本不等式有2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×2，

化简得(b＋c)2≤2，即(b＋c)2≤8，

故b＋c≤2，

当且仅当b＝c＝时取等号．

故△ABC周长的最大值为＋2＝3.

15．B　[因为∠ABC与∠ADC互补，则sin∠ABC＝sin∠ADC，且A，B，C，D四点共圆．

所以∠CBD＝∠DAC＝30°，

在△ADC中，由正弦定理得＝，

在△ABC中，由正弦定理得＝，

所以＝，

得sin∠BAC＝，所以∠BAC＝60°或∠BAC＝120°.

设四边形ABCD的外接圆半径为R，则＝2R，解得R＝1.

设AB＝a，AD＝b.

(1)如图1，当∠BAC＝60°时，则∠BAD＝90°，故∠BCD＝90°，此时S△BCD＝×1×＝，且BD＝2，在Rt△ABD中，4＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，即S△ABD＝×ab≤1.

所以四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD≤＋1，当且仅当a＝b时，等号成立，故四边形ABCD面积的最大值为＋1.

(2)如图2，当∠BAC＝120°时，则∠BAD＝150°，故∠BCD＝30°，

所以S△BCD＝×1××sin 30°＝.

因为＝2R，所以BD＝1，

则在△ABD中，由余弦定理得

1＝a2＋b2－2abcos 150°，

所以ab＝1－(a2＋b2)<1，

即ab<.

所以S△ABD＝×absin 150°

＝ab<，

此时四边形ABCD的面积

S＝S△BCD＋S△ABD<<＋1.

综上，四边形ABCD面积的最大值等于＋1.

16.　4

解析　设BC＝a，AC＝b，AB＝c.如图，连接AF，BD.

由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．

因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD＝∠BAD＝30°，∠ADB＝120°，设AD＝BD＝x，

由余弦定理得

c2＝x2＋x2－2x2cos 120°，

即c2＝3x2，

解得＝，即＝，

所以AD＝，同理AF＝，

又∠BAC＝60°，∠CAF＝30°，所以∠DAF＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAF＝120°，

在△ADF中，由余弦定理可得DF2＝ AD2＋AF2－2AD·AF·cos 120°，

即12＝＋－2··，化简得(b＋c)2＝bc＋36，

由基本不等式得(b＋c)2≤2＋36，

解得b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号)，

所以(AB＋AC)max＝4.