2024届高三数学一轮复习基础夯实练34：平面向量的数量积

基础夯实练34  平面向量的数量积

1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　)

A．12  B．12  C．－12  D．－12

2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于(　　)

A．5  B．6  C.  D．4

3．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)

A．3  B.  C．2  D.

5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则·等于(　　)

A．0  B.  C．3  D.

6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·等于(　　)

A．8  B.  C．8  D．18

7．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，＝(4,0)，＝(6，a)，则∠AOC等于(　　)

A.  B.  C.  D.

8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：

甲：＋＋＝0；

乙：·(－)＝·(－)；

丙：||＝||＝||；

丁：·＝·＝·.

如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　)

A．甲  B．乙  C．丙  D．丁

9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．

10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.

11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则(　　)

A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N

B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0

C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N

D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N

12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是(　　)

A．(－6，＋∞)

B.

C.∪

D.∪

13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是(　　)

A．||＝||

B．||＝||

C.·＝·

D.·＝·

14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且·＝0，则·＝________.

15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.

16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中·的值为________．

参考答案

1．C　2.A　3.B　4.B　5.C　6.A

7．B　[由题设，＝－＝(2，a)，且||＝||＝4，

所以＝4，则a＝±2，故＝(6，±2)，

由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，

则0<∠AOB<，

又cos∠AOB＝＝＝，则∠AOB＝，

所以∠AOC＝.]

8．B　[甲：＋＋＝0，则＋＝－，故P为△ABC的重心；

乙：·(－)＝·(－)，则(－)·＝·＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；

丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；

丁：·＝·，则(－)·＝·＝0，同理可得·＝·＝0，即P为△ABC的垂心，

当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．]

9.　10.11

11．ACD　[由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5 N，故A正确；

如图②，物体所受合力应等于向量与F2的和向量的大小，显然B错误；

当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C正确；

由上知，重力G与水平拉力F1的合力为，||＝5 N，易知当F2与同向时合力最大，最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，

即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D正确．]

12．C　[因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，

所以a·b＝6＋m，

因为向量a，b的夹角是锐角，所以

解得m>－6，且m≠.

所以实数m的取值范围是∪.]

13．ABD　[由题意＝(1,0)，的坐标等于Pi的坐标(i＝1,2,3)，

||＝||＝1，A正确；

||＝＝，

||＝＝＝，

所以||＝||，B正确；

·＝cos α，·＝cos βcos(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；

·＝cos(α－β)，·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，D正确．]

14．－

解析　设＝λ，则＝－＝λ－，

＝＋＝＋.

所以·＝·(λ－)＝λ2＋·－2＝5λ－4＝0，

解得λ＝.

则＝－

＝－－，

故·＝(－)·

＝2＋·－2

＝－.

15．－16

解析　由题设，||＝3，||＝10，

·＝·(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16.

16．6

解析　在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

||＝2，＝＝(1,)，

||＝，即＝，

||＝，由分形知PN∥OM，所以＝，

所以＝＋＋＝，

所以·＝1×＋×＝6.