2024届高三数学一轮复习基础夯实练36：复数

基础夯实练36  复数

1．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　)

A．a＝1，b＝－3   B．a＝－1，b＝3

C．a＝－1，b＝－3   D．a＝1，b＝3

2．(2022·济南模拟)复数z＝(i为虚数单位)的虚部是(　　)

A．－1  B．1  C．－i  D．i

3．(2023·烟台模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则等于(　　)

A．－2＋i   B．－2－i

C．2＋i   D．2－i

4．(2023·焦作模拟)复数z＝－i5在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

5．(2022·西安模拟)已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为(　　)

A．1  B．－1  C．i  D．－i

6．(2022·临沂模拟)已知复数z＝，i为虚数单位，则|z|等于(　　)

A．2  B．2  C．2  D．2

7．(2023·蚌埠模拟)非零复数z满足＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A．实轴   B．虚轴

C．第一或第三象限   D．第二或第四象限

8．(2022·文昌模拟)已知复数z＝(a∈R，i是虚数单位)的虚部是－3，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

9．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.

10．(2022·潍坊模拟)若复数z满足z·i＝2－i，则|z|＝________.

11．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是(　　)

A．eiπ的实部为0

B．e2i在复平面内对应的点在第一象限

C．|eiθ|＝1

D．eiπ的共轭复数为1

12．(多选)(2022·济宁模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是(　　)

A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限

B.＝－－i

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4

D．|z2－z1|的最大值为3＋2

13．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D.

14．在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．

15．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．8

16．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为________．

参考答案

1．B　2.A　3.C　4.C　5.B　6.C

7．C　8.D　9.1　　10.

11．C　[对于A，eiπ＝cos π＋isin π＝－1，则实部为－1，A错误；

对于B，e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)，

∵cos 2<0，sin 2>0，

∴e2i在复平面内对应的点位于第二象限，B错误；

对于C，|eiθ|＝|cos θ＋isin θ|＝＝1，C正确；

对于D，eiπ＝cos π＋isin π，则其共轭复数为cos π－isin π＝－1，D错误．]

12．ABD　[对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，该点位于第二象限，故A正确；

对于B，＝＝＝－－i，故B正确；

对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，

∵|z2－1＋2i|＝2，

∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；

对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，

则|z1－1＋2i|＝

＝3.

|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋3，故D正确．]

13．A　[因为复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，

所以(x－3)2＋y2＝4，

表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示，

表示过原点和圆上的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，

设切线方程为y＝kx，

则＝2，解得k＝±，

所以的最大值为.]

14．－2

解析　依题意知，＝z1z4－z2z3，

因为z3＝2，

且z2＝＝＝，

所以z2z3＝|z2|2＝，

因此有(1＋i)z4－＝－i，

即(1＋i)z4＝3－i，

故z4＝＝＝1－2i.

所以z4的虚部是－2.

15．C　[令z＝a＋bi(a，b∈R)，

则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，

得

当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，

a＝±1或a＝±3；

当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，

|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍)，

即b＝±(－2)．

综上共有6个解，

z＝±1，z＝±3，z＝±(－2)i.]

16.

解析　∵复数＝

＝，

故复数为虚数需满足

n2－m2≠0，即m≠n，

故有6×6－6＝30(种)情况，

∴复数为虚数的概率为

＝.