2024届高三数学一轮复习基础夯实练37：数列的概念

基础夯实练37  数列的概念

1．已知an＝，那么数列{an}是(　　)

A．递减数列   B．递增数列

C．常数列   D．摆动数列

2．已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于(　　)

A．128  B．16  C．32  D．64

3．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于(　　)

A.  B.  C.  D.

4．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 024等于(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

5．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列的第41项为(　　)

A．760  B．800  C．840  D．924

6．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是(　　)

A．数列{an}的最小项是a1

B．数列{an}的最大项是a4

C．数列{an}的最大项是a5

D．当n≥5时，数列{an}递减

7．Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________.

8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．

9．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．

若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．

(1)求a2，a3；

(2)求数列{an}的通项公式．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

10．(2023·长沙模拟)已知数列{cn}满足c1＝，＝，n∈N*，Sn为该数列的前n项和．

(1)求证：数列为递增数列；

(2)求证：Sn<1.

11．在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于(　　)

A.  B．－  C．100  D．－100

12．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　)

A．b1<b5   B．b3<b8

C．b6<b2   D．b4<b7

13．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为________．

14．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024＝________；S2 024＝________.

15．(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}第2 024项为(　　)

A．21 012－2   B．21 013－3

C．21 011－2   D．21 011－3

16．在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2 025＝________.

参考答案

1．B　2.D　3.D　4.C　5.C

6．BCD　[假设第n项为{an}的最大项，则即

所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．]

7．an＝　8.2n－11　3

9．解　(1)选择①：a2－2a1＝1×2，

则a2＝4.

2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.

选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.

a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1

＝10.

(2)选择①：由nan＋1－(n＋1)an

＝n(n＋1)，

得－＝1，

所以＝－＋－＋…＋－a1＋a1＝n－1＋1＝n，

所以an＝n2.

选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；

当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，

故{an}的通项公式为

an＝

10．证明　(1)因为c1＝，

＝，

所以cn≠1，cn≠0，

两边分别取倒数可得

1－＝－，

整理可得－＝2>0，

所以数列为递增数列．

(2)由＝可得

＝，

即＝cn＋，

所以cn＝－，

所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn

＝－＋－＋…＋－

＝－＝＋2，

又≥＝2，所以cn＋1∈，

所以<－1，即Sn<1.

11．D　[因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，

所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，

所以＝－，所以＝－，

＝－，…，＝－.

以上各式左右分别相乘，

得＝－100，

因为a1＝1，所以a100＝－100.]

12．D　[方法一　当n取奇数时，

由已知b1＝1＋，

b3＝1＋，

因为>，所以b1>b3，

同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；

当n取偶数时，

由已知b2＝1＋，

b4＝1＋，

因为>，所以b2<b4，

同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；

因为>，所以b1>b2，

同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，

又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D.

方法二　(特殊值法)

不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，

则b1＝1＋＝2，

b2＝1＋＝1＋

＝1＋＝，

b3＝1＋＝1＋

＝1＋＝，

所以b4＝1＋＝1＋＝，

b5＝1＋＝1＋＝，

b6＝1＋＝1＋＝，

b7＝1＋＝1＋＝，

b8＝1＋＝1＋＝.

逐一判断选项可知选D.]

13．3

解析　∵Sn＝an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3.

14．3　4 965

解析　∵an＝[lg n]，

∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0；

当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1；

当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2；

当1 000≤n≤9 999时，

an＝[lg n]＝3.

∴a2 024＝[lg 2 024]＝3，S2 024＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.

15．B　[由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，

又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，

所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，a8＝a6＋24＋(－1)3，…，

a2 024＝a2 022＋21 012＋(－1)1 011，将上式相加得a2 024＝a2＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)1 011＋22＋23＋…＋21 012 ＝2＋－1

＝21 013－3.]

16.

解析　由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，

得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，

所以(n2－1)an＝n2an－1，

所以＝×.

令cn＝，则cn＝cn－1×，

所以＝.

由累乘法得＝，

又c1＝a1＝1，

所以cn＝，所以＝，

所以an＝，

所以bn＝＝

＝2×，

所以T2 025＝2×

＝2×＝.