2024届高三数学一轮复习基础夯实练38：等差数列

基础夯实练38  等差数列

1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是(　　)

A．(3，＋∞)   B.

C.   D.

2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S50－S47＝12，则S97等于(　　)

A．198  B．388  C．776  D．2 023

3．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)

A．28  B．29  C．30  D．31

4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为(　　)

A．己丑年   B．己酉年

C．丙寅年   D．甲寅年

5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使Sn<0的n的最小值为(　　)

A．30  B．31  C．32  D．33

6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是(　　)

A．a，b，c依次成等差数列

B.，，依次成等差数列

C．a2，b2，c2依次成等差数列

D．a3，b3，c3依次成等差数列

7．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.

9．已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn的最小值．

从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.

11．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　　)

A．a10＝0   B．S10最小

C．S7＝S12   D．S20＝0

12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为______．

15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为(　　)

A．213  B．215  C．217  D．219

16．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为(　　)

A．－70  B．－72  C．－64  D．－68

参考答案

1．D　2.B　3.B　4.A　5.B

6．ABD　[在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋，整理得＝＋，利用正弦定理和余弦定理得2·＝＋，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．]

7．2　8.200

9．解　选择①作为补充条件：

(1)因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，

所以an＝1＋(n－5)×1

＝n－4(n∈N*)．

(2)由(1)可知a1＝－3，

所以Sn＝＝n(n－7)．

因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.

选择②作为补充条件：

(1)因为a5＝1，d＝2，

所以an＝1＋(n－5)×2

＝2n－9(n∈N*)．

(2)由(1)可知a1＝－7，

所以Sn＝＝n2－8n.

所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.

故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.

不可以选择③作为补充条件．

10．解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，

∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，

∴数列{an}是等差数列，

设其公差为d，

∵a1＝8，a4＝2，

∴d＝＝－2，

∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，

则由(1)可得，

Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.

由(1)知an＝10－2n，

令an＝0，得n＝5，

∴当n>5时，an<0，

则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)

＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn

＝2×(9×5－25)－(9n－n2)

＝n2－9n＋40；

当n≤5时，an≥0，

则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，

∴Tn＝

11．AC　[根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，

即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.

又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，

得a10＝0，故A正确；

不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；

又由Sn＝na1＋

＝－9nd＋

＝×(n2－19n)，

得S7＝S12，故C正确；

S20＝20a1＋d

＝－180d＋190d＝10d.

因为d≠0，

所以S20≠0，故D不正确．]

12．D　[＝

＝＝，

所以＝，

所以＝＝

＝.]

13．3n2－2n

解析　将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋×6＝3n2－2n.

14．12

解析　由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12.

15．B　[由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝＝105个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a108＝1＋(108－1)×2＝215.]

16．B　[∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，满足上式，

∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18，∴{an－20}是以－16为首项，2为公差的等差数列，所以{an－20}的前n项和Sn＝n2－17n.由得8≤n≤9，∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72.]