2024届高三数学一轮复习基础夯实练39：等比数列

基础夯实练39  等比数列

1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于(　　)

A．1  B．－1  C．3  D．－3

2．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

3．若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于(　　)

A.  B．1 011  C.  D．1 012

4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(　　)

A．16  B．12  C．10  D．8

5．(多选)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　)

A．{an＋Sn}是等差数列

B．{an·Sn}是等比数列

C．{a}是等差数列

D．是等比数列

6．已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为(　　)

A.  B．1  C．2  D．3

7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.

8．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为 __________.(写出一个即可)

9．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.

10．Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.

(1)求an及Sn；

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

11．(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是(　　)

A．k不可能为0

B．等差数列一定是“等差比数列”

C．等比数列一定是“等差比数列”

D．“等差比数列”中可以有无数项为0

12．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}(　　)

A．有最大项，有最小项

B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项

D．无最大项，无最小项

13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.

14．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________.

15．将正整数按照如图所示方式排列：

试问2 024是表中第________行的第________个数．

16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0,4S1＋S2＝S3.

(1)求数列{an}的公比q；

(2)对于∀n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值．

参考答案

1．A　2.C　3.C　4.B　5.ACD

6．C　[由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，

解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是首项为2，公比为＝的等比数列，

∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝

＝∈，故选C.]

7．3　202　8.an＝3n－1(答案不唯一)

9．解　(1)设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．

(2)若an＝(－2)n－1，

则Sn＝.

由Sm＝63得(－2)m＝－188，

此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.

由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

10．解　(1)由题意可得

解得a1＝1，q＝3，

所以an＝3n－1，Sn＝＝.

(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．

因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，

所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，

解得λ＝，

此时Sn＋＝×3n，

则＝3.

故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．

11．AD　[对于A，k不可能为0，正确；

对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；

对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；

对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．]

12．A　[根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，则q3＝＝－，

则q＝－，

则Sn＝＝

＝，

若n为奇数，则Sn＝，此时有S1>S3>…>Sn>；

若n为偶数，则Sn＝，此时有S2<S4<…<Sn<，

故S1最大，S2最小．]

13．－9

解析　{bn}有连续四项在{－53，－23，19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，{an}有连续四项在{－54，－24，18,36,81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项，

等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，

相邻两项相除＝－，

＝－，＝－，＝－，

很明显，－24,36，－54,81是{an}中连续的四项，

q＝－或q＝－(|q|>1，

∴此种情况应舍)，

∴q＝－，∴6q＝－9.

14.　

解析　由题意得a1＝1－a1，故a1＝.当n≥2时，由得an＝－an＋an－1，则＝，故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝.由等比数列的性质可得a1a3＝a，a3a5＝a，…，a2n－1a2n＋1＝a，所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a＝为首项，为公比的等比数列，则Tn＝a＋a＋…＋a＝

＝.

15．11　1 001

解析　由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数，故2 024在表中第11行，又表中第11行有210＝1 024(个)数，故2 024是表中第11行的第1 001个数．

16．解　(1)由4S1＋S2＝S3，

得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，

整理得4a1＝a3，

所以4a1＝a1q2.

因为a1≠0，所以q2＝4，

由题意得q>0，所以q＝2.

(2)由(1)得Sn＝

＝a1(2n－1)，

an＝a1·2n－1，

所以＝.

所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，等价于＋n2＋≥6n＋t恒成立，

所以t≤＋n2－6n＋.

令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－.

当n＝1时，f(1)＝4－＝；

当n＝2时，f(2)＝1－＝；

当n≥3时，f(n)单调递增，

所以f(n)≥f(3)＝－.

所以t≤－，

故实数t的最大值为－.