2024届高三数学一轮复习基础夯实练40：数列中的构造问题

基础夯实练40  数列中的构造问题

1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)

A．15  B．23  C．32  D．42

2．在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．2n－3   B．2n－7

C．(2n－3)(2n－7)   D．2n－5

3．已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝2n－n   B．an＝2n＋n

C．an＝3n－1   D．an＝3n＋1

4．已知数列{an}满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于(　　)

A.   B.

C．3n－2   D．3n＋2

5．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　)

A．2n－1   B.3n－1

C．   D．

6．设数列{an}满足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，则数列的通项公式an等于(　　)

A.·2n＋   B.·2n＋·(－1)n

C.＋   D.＋·(－1)n

7．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)

A.为等差数列

B．{an}的通项公式为an＝

C．{an}为递减数列

D.的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4

8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　)

A．2 023×22 020   B．2 024×22 021

C．2 023×22 021   D．2 024×22 022

9．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，若cn＝，则cn＝____________.

10．已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，则a2＝________.

11．在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n，则an＝________.

12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f(x)＝2x2－8，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln ，且a1＝1，xn>2.数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.

参考答案

1．B　2.C　3.A　4.A　5.D

6．D　[∵an－1＋an＝2n，

两边同时除以2n得，

＋·＝1.

令cn＝，

则cn＝－cn－1＋1.

两边同时加上－得

cn－＝－·.

∴数列是以c1－为首项，－为公比的等比数列，

∴cn－＝·n－1＝·n，

∴cn＝＋·n，

∴an＝2n·cn＝＋·(－1)n.]

7．CD　[因为an＋1＝，

所以＝＝＋3，

所以＋3＝2，

且＋3＝4≠0，

所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1，

所以＝2n＋1－3，

可得an＝，

故选项A，B错误；

因为＝2n＋1－3单调递增，

所以an＝单调递减，

即{an}为递减数列，故选项C正确；

的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n

＝22×－3n＝2n＋2－3n－4，

故选项D正确．]

8．B　[记第n行的第一个数为an，

则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，

∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列．

∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，

∴an＝(n＋1)×2n－2.

又每行比上一行的数字少1个，

∴最后一行为第2 023行，

∴M＝a2 023＝2 024×22 021.]

9．(n＋1)3n－1

10．4

解析　由an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)可得

an＋1－an＝2(an－an－1)，

若an－an－1＝0，则a6＝a5＝…＝a1，与题中条件矛盾，故an－an－1≠0，

所以＝2，即数列{an＋1－an}是以a2－a1为首项，2为公比的等比数列，

所以an＋1－an＝a2·2n－1，

所以a6－a1＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋a5－a4＋a6－a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24

＝31a2＝124，所以a2＝4.

11.·3n－1－n－

解析　∵an＋1＝3an＋2n①，∴an＝3an－1＋2(n－1)(n≥2)，两式相减得，

an＋1－an＝3(an－an－1)＋2，令bn＝an＋1－an，则bn＝3bn－1＋2(n≥2)，利用求an＋1＝pan＋q的方法知，bn＝5·3n－1－1，即an＋1－an＝5·3n－1－1②，再利用累加法知，

an＝·3n－1－n－

(或联立①②解出an＝·3n－1－n－)．

12．2n－1

解析　∵f(x)＝2x2－8，

∴f′(x)＝4x，

又∵xn＋1＝xn－

＝xn－＝，

∴xn＋1＋2＝，

xn＋1－2＝，

∴＝2，

又xn>2，

∴ln ＝ln2

＝2ln ，

又an＝ln ，且a1＝1，

∴an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴{an}的前n项和

Sn＝＝2n－1.