2024届高三数学一轮复习基础夯实练44：基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

基础夯实练44  基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

1．(2023·淄博模拟)若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是(　　)

A.π  B．3π  C．3π  D．9π

2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是(　　)

A．8   B．16

C．32   D．64

3．(多选)下列说法不正确的是(　　)

A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面

B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥

D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

4．(2022·莆田模拟)已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为(　　)

A.  B．1  C.  D.

5.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(　　)

A．12   B．16

C．24   D．24

6．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)

A．1.0×109 m3   B．1.2×109 m3

C．1.4×109 m3   D．1.6×109 m3

7.如图，在正四棱锥P－ABCD中，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则棱锥A－B1CD1与棱锥P－ABCD的体积之比是(　　)

A．1∶4  B．3∶8  C．1∶2  D．2∶3

8.(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则(　　)

A．正四棱锥的底面边长为6米

B．正四棱锥的底面边长为3米

C．正四棱锥的侧面积为24平方米

D．正四棱锥的侧面积为12平方米

9.如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．

10．(2022·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝3BD，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________．

11.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B－AMNC的体积为________．

12.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为 ________，体积为 ________cm3.

13．(2022·徐州模拟)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是(　　)

A．15π  B．36π  C．45π  D．48π

14．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则等于(　　)

A.  B．2  C.  D.

15．(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是(　　)

A．直三棱柱的侧面积是4＋2

B．直三棱柱的体积是

C．三棱锥E－AA1O的体积为定值

D．AE＋EC1的最小值为2

16．(2023·榆林模拟)如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm3.

参考答案

1．B　2.C　3.ABC　4.D　5.A

6．C　[如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，

所以该棱台的体积

V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.]

7．A　[棱锥A－B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P－ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到的．

因为B1为PB的中点，D1为PD的中点，

所以棱锥B1－ABC的体积和棱锥D1－ACD的体积都是正四棱锥P－ABCD的体积的，

棱锥C－PB1D1的体积与棱锥A－PB1D1的体积之和是正四棱锥P－ABCD的体积的，

则中间剩下的棱锥A－B1CD1的体积＝VP－ABCD－3×VP－ABCD＝VP－ABCD，

则∶VP－ABCD＝1∶4.]

8．AC　[如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，

则SH⊥AB，

设底面边长为2a 米．

因为∠SHO＝30°，

所以OH＝AH＝a 米，OS＝a 米，SH＝a 米．

在Rt△SAH中，a2＋2＝21，

解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝×6×2×4＝24(平方米)．]

9．8　10.2

11.V

解析　如图，连接AN，对于三棱锥B－ACN，B－AMN，显然它们等底同高，

故VB－ACN＝VB－AMN，

而VB－ACN＝VN－ABC，

注意到CN＝C1N，

于是三棱锥N－ABC的高是三棱柱ABC－A1B1C1的一半，且它们都以△ABC为底面，

故VN－ABC＝×V＝V，

故VB－AMNC＝2×V＝V.

12．8　18

解析　公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8面．

四棱锥底面是以3为边长的正方形，S＝18，

其中一个正四棱锥的高为.

∴V＝×18××2

＝18(cm3)．

13．C　[如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，因为MN平行于地面，故∠MNF＝30°，

因为椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，

故NF＝18－12＝6，

在Rt△MFN中，MF＝NF×tan 30°＝2，即圆柱的底面半径为，

所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为(12＋18)的圆柱体积的一半，

即为×π×()2×(12＋18)

＝45π.]

14．C　[方法一　由甲、乙两个圆锥的母线长相等，

结合＝2，

可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.

不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，

则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，

所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，

得r1＝2，r2＝1.

由勾股定理得，

h1＝＝，

h2＝＝2，

所以＝＝＝.

故选C.

方法二　设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，

则由＝＝＝2，

得＝＝2.

由题意知n1＋n2＝2π，

所以n1＝，n2＝，

所以2πr1＝l,2πr2＝l，

得r1＝l，r2＝l.

由勾股定理得，h1＝＝l，

h2＝＝l，

所以＝＝＝.

故选C.]

15．ACD　[因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，

所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；

直三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；

如图所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，

所以三棱锥E－AA1O的高为定值，＝××2＝，

所以＝××＝，为定值，故C正确；

由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE＋EC1的最小值为＝＝2，故D正确．]

16.

解析　设圆锥的底面半径为r cm，

圆柱形冰块的底面半径为x cm，

高为h cm，

由已知可得，××(2r)2＝16，解得r＝4，

h＝(r－x)·tan 60°＝(4－x)，0＜x＜4.

设圆柱形冰块的体积为V，

则V＝πx2(4－x)，0＜x＜4.

令f(x)＝πx2(4－x)，0＜x＜4.

则f′(x)＝πx(8－3x)，

则当x∈时，f′(x)＞0，

当x∈时，f′(x)＜0，

∴f(x)max＝f ＝.

∴酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为 cm3.