2024届高三数学一轮复习基础夯实练47：空间直线、平面的平行

基础夯实练47  空间直线、平面的平行

1. 如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　)

A．EF∥PA

B．EF∥PB

C．EF∥PC

D．以上均有可能

2．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为(　　)

A．3  B．2  C．1  D．0

3. 在如图所示的三棱柱ABC －A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A．异面

B．平行

C．相交

D．以上均有可能

4．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有(　　)

A．①②  B．②③  C．①③  D．①②③

5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　)

6. (2023·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　)

A．MF∥EB

B．A1B1∥NE

C．四边形MNEF为平行四边形

D．四边形MNEF为梯形

7.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，则AC的长为________cm.

8. 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．

9.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

10．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.

试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC.

11. (多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　)

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面EFGH所在四边形的面积为定值

C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行

D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值

12. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为(　　)

A.   B．2

C．2   D．2

13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与截面AD1C的位置关系是________，A1B与平面DD1C1C的位置关系是________．

14．如图，在四面体ABCD中，M，N分别是平面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

15. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D．[，]

16. 如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2.

(1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值；

(2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值．

参考答案

1．B　2.C　3.B　4.C

5．AC　[对于A，AB∥DE，

AB⊄平面DEF，

DE⊂平面DEF，

∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；

对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；

对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，

∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；

对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，

又D为BC的中点，∴AB∥OD，

∵OD与平面DEF相交，

∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．]

6．D　[由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，

M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，

故A错误；

由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；

∵在平行四边形AA1B1B中，

AM＝2MA1，

BN＝2NB1，

∴AM∥BN，AM＝BN，

故四边形AMNB为平行四边形，

∴MN∥AB.

又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

又MN⊂平面MNEF，

平面MNEF∩平面ABC＝EF，

∴MN∥EF，∴EF∥AB，

显然在△ABC中，EF≠AB，

∴EF≠MN，

∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．]

7.　8.矩形

9．证明　(1)如图，设DF与GN的交点为O，连接AE，则AE必过点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，

GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又MN⊂平面MNG，

BD⊄平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE，BD⊂平面BDE，

DE∩BD＝D，

所以平面BDE∥平面MNG.

10．解　E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，

证明如下：

如图，取BP的中点E，CD的中点F，

连接ME，MF，EF.

∵M，F分别为AD，CD的中点，

∴MF∥AC.

∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，

又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，

∵MF∩EF＝F，

MF，EF⊂平面MEF，

∴平面MEF∥平面ABC.

11．ACD　[由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，

所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；

因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的．]

12．C　[∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.

∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示．

∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，

∴平面AEF∥平面CHM.

∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，

∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中点，则H为PD的中点，∴CH＝＝＝2.]

13．相交　平行

解析　A1B1与截面AD1C相交，

由题意得A1B∥D1C，而A1B⊄平面DD1C1C，D1C⊂平面DD1C1C，

所以A1B∥平面DD1C1C.

14．平面ABC，平面ABD

解析　如图，连接AM并延长交CD于E，连接BN并

延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝＝，得MN∥AB，又AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

15．B　[如图，取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，

可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．

因为A1M＝A1N＝＝，

MN＝＝，

所以当点P位于M，N点时，A1P最大，当点P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以≤|A1P|≤，所以线段A1P长度的取值范围是.]

16．解　(1)取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图，

因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，

所以AO∥CN，

所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成角，

因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC，

在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，

所以NO⊥平面BCM，

又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM，

在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，

所以MN＝，

又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，

所以CM＝1，

在△MCN中，CN＝，

由余弦定理的推论可得cos∠MCN＝＝，

所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为.

(2)如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q，连接PQ，

因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，

所以CM∥PQ，

因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，

所以PQ为△AMC的中位线，

所以P为AM中点，AP＝PM，

又AP＝λPM，

所以λ的值为1.