2024届高三数学一轮复习基础夯实练49：空间向量的概念与运算

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练49：空间向量的概念与运算，共12页。试卷主要包含了已知a＝，b＝，A，B等内容，欢迎下载使用。

A．－6 B．6 C．－4 D．4
2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))是空间的一组基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共面
D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \f(\r(6),3)
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
5. 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝eq \r(2)，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2eq \r(3) D．4
6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是( )
A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为eq \f(2,3)
D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.
8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，eq \(VP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(VC,\s\up6(→))，eq \(VM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VB,\s\up6(→))， eq \(VN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VD,\s\up6(→)).则VA与平面PMN的位置关系是________．
9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)
10. 如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(3)AD＝eq \r(3)AA1＝eq \r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是( )
A．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝2eq \(A1P,\s\up6(—→))时，B1，P，D三点共线
B．当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(—→))时，eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(D1P,\s\up6(—→))
C．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝3eq \(A1P,\s\up6(—→))时，D1P∥平面BDC1
D．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5eq \(A1P,\s\up6(—→))时，A1C⊥平面D1AP
12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，eq \(C1N,\s\up6(→))＝λeq \(NC,\s\up6(→))，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs∠EAF＝________，EF＝________.
15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
16.如图，在三棱锥P－ABC 中，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝4|eq \(AB,\s\up6(→))|2.
(1)求证：AB⊥平面PAC；
(2)若M 为线段PC 上的点，设eq \f(|\(PM,\s\up6(→))|,|\(PC,\s\up6(→))|)＝λ，当λ 为何值时，直线PC⊥平面MAB?
参考答案
1．D 2.ACD 3.A 4.B 5.B
6．BC [对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，
故a，c不垂直，故A错；
对于B，设d＝ma＋nb，
则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)
＝(1，－4，－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋3n＝1，,－2m＝－4，,m＋4n＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－1，))
即2a－b＝d，故B对；
对于C，因为cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(10,3×5)＝eq \f(2,3)，
所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为eq \f(2,3)，故C对；
对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cs〈a，b〉·eq \f(b,|b|)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,5)×(3,0,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，0，\f(8,5)))，故D错．]
7．2 8.VA∥平面PMN
9．解 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝eq \r(02＋－52＋52)
＝5eq \r(2).
(2)令eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)) (t∈R)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1，－2)，
所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq \(OE,\s\up6(→))·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq \f(9,5).
因此存在点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，此时点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).
10．证明 (1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，
D(0,2,0)，
P(0,0,2)，
F(0,1,1)，
H(1,0,0)．
eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq \(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，
eq \(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
∴eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AH,\s\up6(→))，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
11．B [如图，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C(0，eq \r(3)，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，eq \r(3)，1)，D(0,0,0)，
B(1，eq \r(3)，0)，C1(0，eq \r(3)，1)，
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝2eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，
eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(DA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
而eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(1，eq \r(3)，1)，
∴eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB1,\s\up6(—→))，∴B1，P，D三点共线，A正确；
设eq \(A1P,\s\up6(—→))＝λeq \(A1C,\s\up6(—→))，eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－1，eq \r(3)，－1)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋λeq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－λ，eq \r(3)λ，1－λ)．
当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(—→))时，有eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5λ－1＝0，
∴λ＝eq \f(1,5)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(\r(3),5)，－\f(1,5)))＝－eq \f(1,5)≠0，∴eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(D1P,\s\up6(—→))不垂直，B不正确；
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝3eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(\r(3),3)，－\f(1,3)))，
eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \(A1P,\s\up6(—→))－eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(\r(3),3)，－\f(1,3)))，
又eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，0)，eq \(DC1,\s\up6(—→))＝(0，eq \r(3)，1)，
∴eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(DB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(DC1,\s\up6(—→))，∴eq \(D1P,\s\up6(—→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC1,\s\up6(→))共面，又D1P⊄平面BDC1，∴D1P∥平面BDC1，C正确；
当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5eq \(A1P,\s\up6(—→))时，eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，－\f(1,5)))，从而eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))，
又eq \(AD1,\s\up6(—→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－1,0,1)·(－1，eq \r(3)，－1)＝0，
∴A1C⊥AD1，
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))·(－1，eq \r(3)，－1)＝0，
∴A1C⊥AP，∵AD1∩AP＝A，AD1，AP⊂平面D1AP，∴A1C⊥平面D1AP，D正确．]
12．ACD [在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，eq \(D1M,\s\up6(—→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则eq \(D1M,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝eq \f(1,3)y(3－y)．
对于A选项，连接A1M，eq \(A1M,\s\up6(—→))＝(0，y，－3)，则eq \(A1M,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，则eq \(A1M,\s\up6(—→))⊥eq \(MN,\s\up6(→))，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，eq \(CM,\s\up6(→))＝(3，y－3,0)，eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项，eq \(BN,\s\up6(→))＝(0,0，z)，则线段BN长度|eq \(BN,\s\up6(→))|＝z＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＋\f(9,4)))≤eq \f(3,4)，当且仅当y＝eq \f(3,2)时等号成立，C正确；
对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝eq \f(9,2)，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确．]
13．15
解析 如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，
以eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MP,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，2))，M(0,0,0)，
设Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，t))，
因为eq \(C1N,\s\up6(—→))＝λeq \(NC,\s\up6(→))，
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ)))，
所以eq \(AB1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，2))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ))).
又因为AB1⊥MN，
所以eq \(AB1,\s\up6(—→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝0，
所以－eq \f(1,4)＋eq \f(4,1＋λ)＝0，
解得λ＝15.
14.eq \f(2,5) eq \f(\r(6),2)
解析 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，
cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AF,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(2,5)，
∴cs∠EAF＝eq \f(2,5)，
EF＝|eq \(EF,\s\up6(→))|
＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(6),2).
15．C [由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，
则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，
∴F(4λ，0,0)，
eq \(DE,\s\up6(→))＝(4，－4,2)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(4λ，－4,0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(4,4，－4)，eq \(PE,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝4x－4y＋2z＝0，,n·\(DF,\s\up6(→))＝4λx－4y＝0，))
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE的法向量为
m＝(a，b，c)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(PC,\s\up6(→))＝4a＋4b－4c＝0，,m·\(PE,\s\up6(→))＝4a－2c＝0，))
取a＝1，得m＝(1,1,2)，
∵平面DEF⊥平面PCE，
∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝eq \f(3,5).]
16．(1)证明 因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以PA⊥AB，AB⊥AC，
因为PA∩AC＝A，
PA，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
(2)解 当M为PC的中点，即λ＝eq \f(1,2)时，直线PC⊥平面MAB.
如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
由|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝4|eq \(AB,\s\up6(→))|2可得PA＝AC＝2AB.
设AP＝2，则P(0,0,2)，A(0,0,0)，
C(2,0,0)，B(0,1,0)，M(1,0,1)．
eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(1,0,1)，
eq \(MB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)．
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝2×1＋0×0＋(－2)×1
＝0，
所以eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AM,\s\up6(→))，
即PC⊥AM.
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，
所以eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(MB,\s\up6(→))，即PC⊥BM.
又因为AM∩BM＝M，AM，BM⊂平面MAB，
所以PC⊥平面MAB.
故当λ＝eq \f(1,2)时，PC⊥平面MAB.