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2024届高三数学一轮复习基础夯实练55：圆的方程

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这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练55：圆的方程，共7页。试卷主要包含了圆心为，半径为3的圆的方程是，已知点M在圆C，圆C，自圆C等内容，欢迎下载使用。

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A．－6eq \f(1,2)
C．k>－6 D．k3．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为( )
A．(1，－1) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－2,1)
4．圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2y－3＝0 B．x2＋y2－2y－15＝0
C．x2＋y2＋2y－3＝0 D．x2＋y2＋2y－15＝0
5．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于( )
A. 2eq \r(2) B.eq \r(2) C．3 D．9
6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．
8．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________.
9．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
10．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．
(1)求圆C1的方程；
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标．
11．若直线ax－by－6＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则eq \f(3,a)＋eq \f(3,b)的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的可能取值为( )
A．－12 B．－8 C．6 D．－1
13．(多选)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )
A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上
B．圆M的面积的最大值为50π
C．圆M的半径的最小值为1
D．满足条件的所有圆M的半径之积为8
14．(2022·沧州模拟)阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)，则△PAB面积的最大值是( )
A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4
参考答案
1．D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.D
7．(－2，－4) 5
8．x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
9．解设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，
则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2))).
又kAB＝－3，所以km＝eq \f(1,3)，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y－3＝0，,x－y＋1＝0，))
得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|
＝eq \r(－3－12＋－2－12)＝5，
所以圆C的方程为
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋5,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－5，,y0＝2y.))
又点Q(x0，y0)在圆C：
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝eq \f(25,4).
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝eq \f(25,4).
10．解 (1)由题意知AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(7,2)))，kAB＝eq \f(4－3,2－1)＝1，
∴AB的垂直平分线为y＝5－x，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝5－x，,y＝2x－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示．
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝eq \r(74)－4，
当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,7x－5y＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,12)，,y＝\f(1,12)，))
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,12)，\f(1,12))).
11．D [圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，
依题意，点(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，
则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，
于是得eq \f(3,a)＋eq \f(3,b)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝eq \f(3,2)时取“＝”，
所以eq \f(3,a)＋eq \f(3,b)的最小值为4.]
12．ABD [由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，
圆心为(1,2)，半径为r＝eq \r(10－a)(a<10)，
圆心到已知直线的距离为d＝eq \f(|3－8－15|,\r(32＋－42))＝4，
则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，
由题意得3解得－1513．AB [∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，
∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y－2＝0上，故A正确；
设M(a，a－2)，∴圆M的半径r＝|AM|＝eq \r(a2＋a－2＋22)＝eq \r(2)|a|，
∵圆M被x轴截得的弦长为2，
∴2eq \r(r2－a－22)＝2eq \r(a2＋4a－4)＝2，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，故B正确；
当a＝1时，圆M的半径最小，为eq \r(2)，故C错误；
满足条件的所有圆M的半径之积为5eq \r(2)×eq \r(2)＝10，故D错误．]
14．C [设以经过点A，B的直线为x轴，eq \(AB,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，以线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(－1,0)，B(1,0)．
设P(x，y)，∵eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)，
∴eq \f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq \r(2)，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即点P的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.
要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，
此时面积为eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2).]