2024届高三数学一轮复习基础夯实练58：双曲线

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练58：双曲线，共10页。试卷主要包含了已知F1，F2为双曲线C，F1，F2分别为双曲线C，已知双曲线C，已知F1，F2分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

A.eq \f(\r(6),2) B.eq \r(3) C.eq \r(3)或eq \f(\r(6),2) D.eq \r(2)
2. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cs θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为( )
A．两条直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝2eq \r(3)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．双曲线C的离心率为eq \f(2\r(3),3)
D．|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|≥2eq \r(3)
6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上的一点，PF1与C的左支交于点Q.已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝2eq \(QF1,\s\up6(—→))，且|PQ|＝|PF2|，则( )
A．△PQF2为直角三角形
B．△PQF2为等边三角形
C．C的渐近线方程为y＝±eq \r(6)x
D．C的渐近线方程为y＝±eq \r(7)x
7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．
8．(2022·晋中模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在双曲线的右支上，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
9．已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)．
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．
10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的eq \r(2)倍，双曲线过点(4，－eq \r(10))．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．
11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－y2＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1
B．x2－eq \f(y2,3)＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1或eq \f(y2,3)－x2＝1
D．x2－eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)－x2＝1
12．(2022·徐州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0，e>\f(\r(6),2)))的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是eq \r(3)∶eq \r(2)，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B.eq \f(3\r(2),2) C.eq \r(2) D.eq \f(\r(5),2)
13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是( )
A．若|PF1|·|PF2|＝2，则eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0
B．若eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2)＋1]
C．△F1PQ周长的最小值为8
D．△AOB(O为坐标原点)的面积为定值参考答案
1．B 2.C 3.D 4.B
5．CD [双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1焦点在y轴上，a＝eq \r(3)，b＝1，c＝eq \r(a2＋b2)＝2.
对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq \r(3)，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \r(3)x，故B错误；
对于C选项，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，故C正确；
对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，
则|PO|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(x2＋3x2＋3)＝eq \r(3＋4x2)≥eq \r(3)(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))|＝2|eq \(PO,\s\up6(→))|≥2eq \r(3)，故D正确．]
6．BC [因为|PQ|＝|PF2|，
所以由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，
所以|QF2|＝4a，
又eq \(PQ,\s\up6(→))＝2eq \(QF,\s\up6(→))1，
所以|PQ|＝|PF2|＝4a，
故△PQF2是等边三角形．在△PF1F2中，由余弦定理得，
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)
＝eq \f(36a2＋16a2－4c2,48a2)＝eq \f(1,2)，
则eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝7，
即eq \f(b,a)＝eq \r(6)，
故C的渐近线方程为y＝±eq \r(6)x.]
7．y＝±eq \r(3)x 8.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
9．解 (1)因为双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|，
因为△PF1F2的面积为9，
所以|PF1|·|PF2|＝18，
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
10．(1)解 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2eq \r(2)a，即c＝eq \r(2)a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将(4，－eq \r(10))代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明 由(1)知，F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解 由(2)知，点M坐标为(3，eq \r(3))或(3，－eq \r(3))，
∵点M在第一象限，
∴M的坐标为(3，eq \r(3))，直线MF2的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(－\r(3),2\r(3)－3)(x－3)＝－(2＋eq \r(3))(x－3)，
即y＝(－2－eq \r(3))x＋(6＋4eq \r(3))，
代入双曲线方程整理可得(6－4eq \r(3))y2－4eq \r(3)(2－eq \r(3))y＋6＝0，
∵M的纵坐标为eq \r(3)，
∴N的纵坐标为eq \f(6,6－4\r(3)×\r(3))＝eq \f(1,\r(3)－2)＝－(eq \r(3)＋2)，
∴△F1MN的面积为S＝eq \f(1,2)|F1F2|·(eq \r(3)＋eq \r(3)＋2)＝2eq \r(3)×(2＋2eq \r(3))＝12＋4eq \r(3).
11．A [在椭圆eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1中，
c＝eq \r(10－6)＝2，
∴焦距2c＝4.
∵C的一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，
∴设C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为eq \f(x2,3λ)－eq \f(y2,λ)＝1.
当λ>0时，c＝eq \r(λ＋3λ)＝2，解得λ＝1，则C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1；
当λ<0时，c＝eq \r(－λ－3λ)＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－eq \f(x2,3)＝1.
综上，C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1.]
12．C [过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，
由渐近线的方程y＝eq \f(b,a)x可知
y2＝eq \f(b,a)x2，
在Rt△OBE中，xeq \\al(2,2)＋eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,2)＝c2，
解得x2＝a(舍负)，
由已知得x1∶x2＝eq \r(3)∶eq \r(2)，
即x1＝eq \f(\r(6),2)a，
即|AF|2＝c2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a))2＝c2－eq \f(3,2)a2，
因为离心率e>eq \f(\r(6),2)，
所以c2－eq \f(3,2)a2>0，
则点A的坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a，\r(c2－\f(3,2)a2)))，
代入双曲线方程可得
eq \f(\f(3,2)a2,a2)－eq \f(c2－\f(3,2)a2,b2)＝1，
化简得2a2＝c2，
即e＝eq \r(2).]
13．B [如图，
设B(m，n)，
则C(－m，－n)，
易知A(a,0)，
F(c,0)，
由M为线段BF的中点得
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)，\f(n,2)))，
又M在直线CA上，
故eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))共线，
又eq \(CA,\s\up6(→))＝(a＋m，n)，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)－a，\f(n,2)))，
故(a＋m)·eq \f(n,2)＝n·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)－a))，
整理得c＝3a，
故离心率e＝eq \f(c,a)＝3.]
14．ACD [由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，所以有|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，从而eq \(PF1,\s\up6(—→))⊥eq \(PF2,\s\up6(—→))，即eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0，故A正确；
在△PF1F2中，由正弦定理得eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)，则eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(a,c)，解得|PF1|＝eq \f(c,a)|PF2|.
又|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq \f(2a2,c－a)>c－a，整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得1当直线PQ⊥x轴时，|PQ|的最小值为eq \f(2,a)，
|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋2a＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋eq \f(4,a)≥8(当且仅当a＝1时取等号)，故C正确；
设P(x0，y0)，过点P的双曲线E的切线方程为eq \f(x0,a2)x－y0y＝1，E的渐近线方程为y＝±eq \f(1,a)x，不妨设切线eq \f(x0,a2)x－y0y＝1与渐近线y＝eq \f(1,a)x的交点为A，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,a)x，,\f(x0,a2)x－y0y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(a2,x0－ay0)，,y＝\f(a,x0－ay0)，))
即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x0－ay0)，\f(a,x0－ay0)))，
同理可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x0＋ay0)，－\f(a,x0＋ay0))).
又因为点P在双曲线E上，则有eq \f(x\\al(2,0),a2)－yeq \\al(2,0)＝1，xA＋xB＝eq \f(a2,x0－ay0)＋eq \f(a2,x0＋ay0)＝2x0，故点P是AB的中点．设切线eq \f(x0,a2)x－y0y＝1与x轴的交点为G，易知Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x0)，0))，所以S△AOP＝eq \f(1,2)·eq \f(a2,x0)|yA－y0|＝eq \f(a,2)·eq \f(a,x0)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,x0－ay0)－y0))＝eq \f(a,2)，所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正确．]