2024届高三数学一轮复习基础夯实练59：抛物线

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练59：抛物线，共10页。试卷主要包含了抛物线C，已知抛物线C，过抛物线C，已知在抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A．x＝eq \f(3,8) B．x＝－eq \f(3,8)
C．y＝eq \f(3,8) D．y＝－eq \f(3,8)
2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
4．(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
A．C的准线方程为x＝eq \f(\r(2),4)
B．b＝eq \r(2)
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2
D.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(16\r(2),15)
7. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝eq \f(25,16)
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－eq \f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线
12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________．
13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于( )
A．4 B．2
C.eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)
14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则eq \f(|MN|,|AB|)的值是________．参考答案
1．A 2.D 3.D 4.B
5．ACD [由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2,0)，故B错误；
则yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，
若M(m,2)是线段AB的中点，
则y1＋y2＝4，∴yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝8x1－8x2，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(8,4)＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，
得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．]
6．BD [点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＝\f(a2,2)，,b2＝a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝\r(2)，))
则抛物线C：y2＝eq \r(2)x，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，
B(eq \r(2)，eq \r(2))，
抛物线C的准线方程为x＝－eq \f(\r(2),4)，
故A错误，B正确；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(2)＋1×eq \r(2)＝1＋eq \r(2)，故C错误；
抛物线C的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，0))，
则|AF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2＋0－12)＝eq \f(3\r(2),4)，
|BF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\r(2)))2＋0－\r(2)2)
＝eq \f(5\r(2),4)，
则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2\r(2),3)＋eq \f(2\r(2),5)＝eq \f(16\r(2),15)，故D正确．]
7．2eq \r(6) 8.5 4eq \r(5)
9．解 (1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，
焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝eq \f(－22,4)＝1，
M坐标为(－2,1)．
又直线l过点F(0,1)，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))
得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
eq \(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，
eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，
∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，
∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10．解 (1)由1＋eq \f(p,2)＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2,1)．
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋eq \f(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋k＋\f(1,2)，,x2＝4y，))
得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝eq \f(y1－1,x1－2)＋eq \f(y2－1,x2－2)＝0，
即eq \f(\f(x\\al(2,1),4)－1,x1－2)＋eq \f(\f(x\\al(2,2),4)－1,x2－2)＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，
x1x2＝2，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝4.
11．BCD [设抛物线的焦点为F，如图所示，
则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).
因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))，且l1∥x轴，
故A(1,1)，
故直线AF：y＝eq \f(1－0,1－\f(1,4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))
＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,3).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x，))
可得y2－eq \f(3,4)y－eq \f(1,4)＝0，
故y1y2＝－eq \f(1,4)，故A错误；
又y1＝1，故y2＝－eq \f(1,4)，
故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，
故|AB|＝1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,2)＝eq \f(25,16)，
故B正确；
因为|AP|＝eq \f(41,16)－1＝eq \f(25,16)＝|AB|，
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，
即∠ABP＝∠PBQ，
故PB平分∠ABQ，故C正确；
直线AO：y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝－\f(1,4).))
可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y2，
所以C，B，Q三点共线，故D正确．]
12．y2＝4x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4，
又∠HFM＝60°，
所以△MHF为正三角形，
所以|HF|＝4，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以该抛物线方程为y2＝4x.
13．A [设P(x，y)，则yC＝y，
∵lOB：y＝eq \f(2,3)x，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，y))，
∴E(0，y)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，6))，
∵FC∥y轴，
∴△OPE∽△FPC，
∴eq \f(EP,CP)＝eq \f(OE,FC)，
∴eq \f(x,\f(3,2)y－x)＝eq \f(y,6－y)，即y2＝4x，
∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点．
设Q(x0，y0)，则yeq \\al(2,0)＝4x0，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(x0－1，y0)，eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1,0)，
∴cs∠OAQ＝eq \f(\(AO,\s\up6(→))·\(AQ,\s\up6(→)),|\(AO,\s\up6(→))|·|\(AQ,\s\up6(→))|)＝eq \f(1－x0,\r(x0－12＋y\\al(2,0))·1)＝eq \f(1－x0,x0＋1)＝－eq \f(1,2)，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋eq \f(p,2)＝3＋1＝4.]
14.eq \f(\r(3),2)
解析 如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得
|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，
2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，则|MN|＝eq \f(3a,2)，
又|AB|＝eq \r(b2－a2)＝eq \r(3)a，
故eq \f(|MN|,|AB|)＝eq \f(\f(3a,2),\r(3)a)＝eq \f(\r(3),2).