2024届高三数学一轮复习基础夯实练61：圆锥曲线压轴小题突破练

基础夯实练61  圆锥曲线小题综合

1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B.

C.   D.

2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是(　　)

A.  B.  C．3  D．5

3．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A．16  B．14  C．12  D．10

5．(多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题正确的是(　　)

A．若θ＝60°，则S＝4

B．若S＝4，则|PF2|＝2

C．若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,4)

D．若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－＝1

6．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　)

A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－

B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2

C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是

D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是

7．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C．[－1,1]   D.

8．已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.   B．[＋1，＋∞)

C.   D．(1，＋1]

9．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．12

12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)

A.  B．2  C.  D．3

13．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

14．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)

A.  B.  C．－1  D．－

15．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－的最小值为________．

16．(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．

(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____ cm；

(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为____________(单位：cm)．

参考答案

1．C　2.B

3．B　[由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.

∵双曲线一个焦点为(－2,0)，

∴c＝2.

设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，

则a2＋b2＝4.

∵kAB＝kNF＝1，且kON＝，

∴kAB·kON＝＝，

即a2＝3b2，

易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，

∴双曲线C的离心率e＝＝.]

4．A　[如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，

则直线l2的倾斜角为＋θ，

由抛物线的焦点弦弦长公式知

|AB|＝＝，

|DE|＝＝，

∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，

当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时，等号成立，

即|AB|＋|DE|的最小值为16.]

5．ACD　[由x2－＝1，得a2＝1，

b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝，

焦点△PF1F2的面积公式S＝＝，将θ＝60°代入可知S＝4，故A正确；

当S＝4时，θ＝90°，

由

可得|PF2|＝2，故B错误；

当∠F1PF2＝90°时，S＝4，当∠PF2F1＝90°时，S＝4，因为△PF1F2为锐角三角形，所以S∈(4,4)，故C正确；

设G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，

则x－＝1(x0>1)，

由题设知F1(－，0)，F2(，0)，则所以点G的轨迹方程为9x2－＝1，故D正确．]

6．BD　[设P(x0，y0)，

所以＋＝1，

因为e＝＝，

所以a＝2c，

所以a2＝b2，

所以＝－＝－，

所以A错误；

若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan ＝b2，

所以B正确；

若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，

即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，

所以·2c·b>b2，

所以c>b，所以c2>a2－c2，

故e∈，

所以C错误；

若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，

所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，

所以5e2＋2e－3≤0，

故0<e≤，

所以D正确．]

7．D　[由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，

又|FA|＝－c＝，

|PF|∈[a－c，a＋c]，

∴∈[a－c，a＋c]，

∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，

∴

∴

又∵e∈(0,1)，∴e∈.]

8．D　[由题意＝sin∠PF1F2≤sin ＝，

所以0<|PF2|≤c，

又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，

即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，

所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，

整理得2a2＋2ac－c2≥0，

所以e2－2e－2≤0，又e>1，

故解得1<e≤＋1.]

9．A　[设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，

由椭圆和双曲线的定义可得

得

设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝，

由余弦定理得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－

2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，

即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，

整理得a＋3a＝4c2，

故＋＝4.

又4＝＋≥2＝，

即2≥，所以e1e2≥，

即e1e2的最小值为，

当且仅当＝，

即e1＝，e2＝时，等号成立．]

10．C　[连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，

设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，

∵存在M，N使得∠MPN＝120°，

∴∠APB≥120°，即α≥60°，

又α<90°，

∴sin α≥sin 60°，

连接OA，则sin α＝

＝≥，

∴|OP|≤.

又P是C上任意一点，

则|OP|max≤，

又|OP|max＝a，∴a≤，

则由a2＝b2＋c2，得e2≤，

又0<e<1，

∴e∈.]

11．D　[由e＝，

得＝，即a＝2c.①

在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，

得＝b2tan ＝r(2a＋2c)，

即b2＝(a＋c)，②

由a2＝b2＋c2，③

联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3，

所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.]

12．A　[如图，·＝0，

∴BA⊥BP，令kAB＝k，

∵∠ADO＝∠AOD，

∴kAP＝－kAB＝－k，

又BA⊥BP，∴kPB＝－，

依题意，kPB·kPA＝，

∴－·(－k)＝，

∴＝1，即e＝.]

13．D　[设双曲线C2的方程为－＝1，

则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.

又四边形AF1BF2为矩形，

所以△AF1F2的面积为

btan 45°＝，

即b＝b＝1.

所以a＝c－b＝3－1＝2.

故双曲线的离心率

e＝＝＝.]

14．B

[∵∠F1AF2＝90°，

∴△F1AF2为等腰直角三角形，

∴b＝c，

∴a2＝2b2＝2c2，

∴＝，且∠AF2O＝45°，

∴kMA＝－1，

又kMA·kMB＝－＝－，

∴kMB＝.]

15．2－2

解析　方法一　已知＝1，即p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x，

若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；

设直线l的方程为x＝my＋1，

A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立可得

y2－4my－4＝0，

则

所以＋＝＋＝＋

＝

＝

＝＝1.

所以＝1－，

则|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2

≥2－2＝2－2，

当且仅当|AF|＝时，等号成立，

故|AF|－的最小值为2－2.

方法二　因为＝1，所以p＝2，

又＋＝，

所以＋＝1，

所以＝1－，

因为|AF|－

＝|AF|－2

＝|AF|＋－2

≥2－2，

当且仅当|AF|＝时，等号成立，

所以|AF|－的最小值为2－2.

16．(1)6　(2)

解析　因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，

所以球的半径为3 cm，

又因为杯口宽4 cm，

所以|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB，

所以|AD|＝|BD|＝2，

所以|C1D|＝＝＝1，

所以|DE|＝2，

又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，

故最小距离为|OD|－|DE|＝6，

如图1所示，建立直角坐标系，

易知B(2，8)，

设抛物线的方程为y＝mx2，

所以将B(2，8)代入，得m＝1，

故抛物线方程为y＝x2，

图1　　　　　　 图2

当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为

x2＋(y－r)2＝r2，

依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，

则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，

解得1－2r≥0，

可得0<r≤.

所以玻璃球的半径的取值范围为.