2024届高三数学一轮复习基础夯实练63：圆锥曲线中范围与最值问题

基础夯实练63  圆锥曲线中范围与最值问题

1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．

2．(2023·吕梁模拟)已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(，1)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k1，直线OB的斜率为k2，且k1k2＝－，求·的取值范围．

3．(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．

(1)求抛物线E的方程；

(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．

4．已知椭圆的两个焦点是F1(0，－2)，F2(0,2)，点P(，2)在椭圆上．

(1)求此椭圆的方程；

(2)过F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的取值范围．

5．已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

6．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.

(1)求实数p的值；

(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．

7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．

8．已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线x＝被C截得的线段长为.

(1)求C的方程；

(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF1F2面积的最大值．

参考答案

1．解　(1)∵a＝1，＝2，

∴c＝2，b2＝3，

∴双曲线C的标准方程为

x2－＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

线段MN的中点Q(x0，y0)，

联立

得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，

依题意

即①

由根与系数的关系可得

x1＋x2＝，

x1·x2＝－，

则x0＝＝，

y0＝kx0＋m＝，

∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，

∴kBQ＝＝

＝－，

∴3－k2＝m，②

又k2＝3－m>0，③

由①②③得

m<－或0<m<.

2．解　(1)由题意可得

又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l的斜率存在时，

设l：y＝kx＋t，

联立

消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，

则

又k1k2＝＝－，

故y1y2＝－x1x2且x1x2≠0，

即3t2－9≠0，则t2≠3，

又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，

所以＝

＝k2＋

＝k2＋

＝＝－，

整理得2t2＝9k2＋3≥3，

则t2≥且Δ>0恒成立．

·＝x1x2＋y1y2

＝x1x2－x1x2＝x1x2

＝·＝3·

＝3，

又t2≥，且t2≠3，

故3∈[－3,0)∪(0,3)．

当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，则k1k2＝－＝－，

又＋＝1，解得x＝，

则·＝x－y＝x＝3.

综上，·的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．

3．解　(1)由题意可得

解得p＝2.

故抛物线E的方程为y2＝4x.

(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

易知x1＝ty1＋1>0，

x2＝ty2＋1>0，

联立

消去x得y2－4ty－4＝0.

所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.

由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，

联立

消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.

所以y1＋y3＝－，

y1y3＝.

所以|AC|＝

＝

＝

＝

＝·|ty1＋2|

＝·(ty1＋2)．

同理可得

|BD|＝·(ty2＋2)，

所以|AC|＋|BD|

＝·[t(y1＋y2)＋4]

＝(t2＋1)

＝8，

令f(x)＝，x>0，

则f′(x)＝，x>0，

所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12.

4．解　(1)由题意知，c＝2，

因为焦点在y轴，设椭圆方程为

＋＝1(a>b>0)，

将点P的坐标代入上式得

＋＝1，

联立方程

解得a2＝8，b2＝4，

所以椭圆方程为＋＝1.

(2)如图，当过F2 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，

则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为

y＝－x＋2，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

联立直线AB与椭圆方程

得x2＋kx－＝0，

由根与系数的关系得

x1＋x2＝－，x1·x2

＝－，

线段AB的长为

|AB|＝|x1－x2|

＝×

＝4×，

同理联立直线CD与椭圆方程得到

|CD|＝×

|x3－x4|＝4×，

因为AB⊥CD，

所以四边形ACBD的面积

S＝|AB|·|CD|

＝16×

＝8×，

令f(k)＝·，t＝，

则有0<t<1，g(t)＝(1＋t)·是关于t的二次函数，

当0<t<1 时，1<g(t)≤，

所以≤S<8；

当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，

则直线AB的方程为y＝2，

将y＝2代入椭圆方程，

得x＝±，则|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四边形ACBD的面积

S＝|AB|·|CD|＝8 ；

所以四边形ACBD面积的取值范围是.

5．解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，

根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为

＋＝4，

即2a＝4，所以a＝2，

又因为c＝，

可得b＝＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．

故设直线l的方程为

y＝kx＋m(k≠0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程组

可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝，

x1x2＝，

所以kOA＋kOB＝＋

＝

＝2k＋＝2k＋

＝，

由kOA＋kOB＝－，

可得m2＝4k＋1，所以k≥－，

又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，

所以4k2－4k>0，

解得k<0或k>1，

综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．

6．解　(1)因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，

由抛物线的定义知1＋＝2，

解得p＝2.

(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，

设A，

B(y1≠0，y2≠0)，

设l：x＝ty＋1，联立

得y2－4ty－4＝0，

判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，

y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

设l1：y－y1＝k，

联立方程组

消去x，整理得

ky2－4y＋4y1－ky＝0，

所以Δ＝16－4k(4y1－ky)

＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，

所以k＝，

则l1：y－y1＝，

即y＝x＋，

令x＝0，得M，

同理l2：y＝x＋，N，

联立

得交点Q的横坐标为

xQ＝＝－1，

∴S△QMN＝|MN|·|xQ|

＝×1

＝

＝≥1，

∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．

7．解　(1)由题设可知

解得

则C：－y2＝1.

(2)设点M的横坐标为xM>0，

当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，

易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔

当直线l的斜率存在时，

设l：y＝kx＋m，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立整理得

(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，

Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)

＝0，

整理得4k2＝m2＋1，

联立整理得

(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，

则x1＋x2＝－

＝－＝－，

则xM＝＝－>0，

即km<0，

则x＝＝4＋>4，

即xM>2，

此时点M到y轴的距离大于2.

综上所述，点M到y轴的最小距离为2.

8．解　(1)∵e＝＝，

∴＝，∴c2＝a2，

∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，

∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2，

由⇒y＝±，

由题可知2＝，

解得a2＝3，

∴C：＋y2＝1.

(2)由＝λ，

得AF2∥BF1，如图，

延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半．

由题知，BF1的斜率不为零，

故设BF1的方程为x＝my－，

联立

得(m2＋3)y2－2my－1＝0，

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

∵Δ>0，

∴y1＋y2＝，y1y2＝，

故|BC|＝·|y1－y2|＝，

O到BF1的距离d＝，

＝S四边形ABCD＝×4S△OBC

＝2××|BC|·d＝|BC|·d

＝·

＝2·＝2·

＝2·≤2×＝，

当且仅当＝，即m＝±1时取等号，

∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为.