2024届高三数学一轮复习基础夯实练69：列联表与独立性检验

基础夯实练69  列联表与独立性检验

1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　)

2．下列关于独立性检验的说法正确的是(　　)

A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验

B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系

C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病

D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

3．为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：

下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：

根据表中数据，计算χ2＝，若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过(　　)

A．0.05  B．0.1  C．0.01  D．0.005

4．(多选)(2022·郑州模拟)为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是(　　)

附表：

A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效”

B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”

C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”

D．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效”

5．(多选)(2023·南通模拟)根据分类变量x与y的观察数据，计算得到χ2＝2.974，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是(　　)

A．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析变量x与y相互独立

B．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析变量x与y不相互独立

C．变量x与y相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

D．变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

6．为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是(　　)

参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

A.a＝b＝30

B．χ2≈12.667

C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是

D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响

7．如表是对于“喜欢运动”与性别是否有关的2×2列联表，依据表中的数据，得到χ2≈________(结果保留到小数点后3位)．

8．一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，其实验数据如表所示：

则χ2＝________(精确到小数点后三位)，依据概率值α＝0.05的独立性检验，该实验________该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异(填拒绝或支持)．

9．(2021·全国甲卷改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

10．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗．

(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；

(2)填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由．

附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

11．在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：

计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”(　　)

附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

A.0.001   B．0.05

C．0.01   D．0.005

12．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如表所示．

其中a,15－a均为大于5的整数，若依据α＝0.05的独立性检验可以认为X与Y有关，则a的可能取值为(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

13．(多选)在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表：(单位：人)，则(　　)

A.<

B．χ2<2.706

C．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关

D．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关

14．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：

若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为________．(其中a≥40且a∈N*)(参考数据：≈2.58，≈3.29)

附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

参考答案

1．D　2.D　3.A　4.BC　5.AD　6.D

7．4.722

8．0.538　支持

解析　由表中数据可知a＝29，b＝7，c＝33，d＝5，n＝a＋b＋c＋d＝74，

根据χ2＝，

计算可知χ2＝

≈0.538<3.841＝x0.05，

所以没有充分证据认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，

即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异．

9．解　(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是＝0.6.

(2)零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，

根据题表中的数据可得

χ2＝

＝≈10.256>6.635＝x0.01，

所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．

10．解　(1)由直方图的性质可知，0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a＋0.020×10＝1，

解得a＝0.040，

因为(0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位数位于[80,90)内，

设中位数为x，则有0.020×10＋0.040×(90－x)＝0.5，

解得x＝82.5.

故综合评分的中位数为82.5.

(2)由(1)得优质花苗的频率为0.6，

所以样本中优质花苗的数量为60，

得如下列联表：

零假设为H0：优质花苗与培育方法无关，

χ2＝

≈16.667>6.635＝x0.01，

所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为优质花苗与培育方法有关．

11．B　[完善2×2列联表如下：

零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．

因为χ2＝≈4.762，3.841<4.762<6.635，

所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，

即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．]

12．CD　[根据a>5且15－a>5，a∈Z，知a可取6,7,8,9.由表中数据及题意，得

χ2＝

＝≥3.841＝x0.05，结合选项，知a的可能取值为8,9.]

13．BD　[由题中列联表数据，知

解得

所以得到如下列联表：

所以＝＝>＝，即A错误；

零假设为H0：在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，

由列联表中的数据，

得χ2＝

≈0.775<2.706＝x0.1，

依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，

即在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，所以B，D正确，C错误．]

14．46

解析　由题意可得

χ2＝

≥6.635，

整理得(100a－4 000)2

≥502×42×6.635，

所以100a－4 000≥200×

≈200×2.58＝516或100a－4 000

≤－200×≈－200×2.58

＝－516，

解得a≥45.16或a≤34.84，

又因为a≥40且a∈N*，

所以a≥46，

所以a的最小值为46.