2024届高三数学一轮复习基础夯实练76：二项分布、超几何分布与正态分布

基础夯实练76  二项分布、超几何分布与正态分布

1．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为(　　)

A.  B.  C．1  D.

2．(2023·盐城模拟)某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得，数学成绩X～N(110,100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P(|X－μ| ≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5)(　　)

A．16  B．10  C．8  D．2

3．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

4．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ改编)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中正确的是(　　)

A．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大

B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

5．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝

B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0<X<2)＝0.4

C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是

D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3

6．(2022·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则(　　)

A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________．

8．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：

由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 ________.(结果四舍五入精确到个位)

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

9．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响．

(1)求乙闯关成功的概率；

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．

10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；

(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数以及方差s2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．

①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)；

②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．

参考数据：≈1.4；若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.

11．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数ak(k＝2,3,4,5)中，出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时，下列选项正确的是(　　)

A．X服从二项分布

B．P(X＝1)＝

C．X的均值E(X)＝

D．X的方差D(X)＝

12．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是 ________；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝________.

13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝.已知X～C(1,0)，P(|X|≤)＝，P(1<X≤)＝，则P(X≤－1)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

14．(2023·开封模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则＋(0<x<a)的最小值为________.

参考答案

1．D　2.C　3.A　4.ABC

5．ABC　[对于A，若随机变量X服从二项分布B，

则P(X＝3)＝C33＝，故A正确；

对于B，因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝2.

因为P(X<4)＝0.9，

所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，

所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正确；

对于C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，

则P(AB)＝＝，

P(A)＝1－＝，

所以P(B|A)＝＝，故C正确；

对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正确．]

6．B　[依题意知，ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ1～B，

所以E(ξ1)＝2×＝，

D(ξ1)＝2××＝；

当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的所有可能取值为0,1，

P(ξ2＝0)＝×＝，

P(ξ2＝1)＝×＋×＝，

所以E(ξ2)＝0×＋1×＝，

D(ξ2)＝2×＋2×＝.

所以E(ξ1)＝E(ξ2)，

D(ξ1)>D(ξ2)．]

7.

8．73　1 587

解析　由题意知，μ≈＝73.

易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈＝0.158 65，

故估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为10 000×0.158 65≈1 587.

9．解　(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝C2×＋3＝.

(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

故X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

所以甲闯关成功的概率为＋＝，因为<，所以甲闯关成功的可能性更大．

10．解　(1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为×5＝2，消费金额在区间[11,13)内的人数为×5＝3，

设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，

所以P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

所以X的分布列为

则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

(2)①由题意得，μ＝＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，

σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，

所以σ＝＝2≈2.8，

所以P(5.2≤ε<13.6)＝P(8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈≈0.8.

②由题意及①得η～B，n＝4，p＝，

所以D(η)＝np(1－p)＝4××＝.

11．AC　[由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1，

且每个数位上的数字互不影响，X的分布列为

P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，

故X～B，故A正确；

P(X＝1)＝C×1×3

＝，故B错误；

E(X)＝4×＝，故C正确；

D(X)＝4××＝，

故D错误．]

12.　

解析　记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，

则P(AB)＝P(A)＝＝，

P(B)＝1－＝，

故P(A|B)＝＝＝，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是，

由题意可知，X服从超几何分布，

E(X)＝3×＝.

13．C　[因为f(－x)＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，

由P(|X|≤)＝，

可得P(0<X<)＝，

因为P(1<X≤)＝，

所以P(0<X<1)＝－＝，

因此P(－1<X<0)＝，

所以P(X≤－1)＝－＝.]

14．4

解析　随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，可得1＋a－3＝2×1，解得a＝4，

由0<x<4，可得0<4－x<4，

则＋＝＋＝[x＋(4－x)]·

＝

≥×＝4，

当且仅当＝，即x＝1时取等号．

所以＋(0<x<a)的最小值为4.