2024届高三数学一轮复习基础夯实练75：离散型随机变量及其分布列、数字特征

基础夯实练75  离散型随机变量及其分布列、数字特征

1．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于(　　)

A.0.3  B．0.8  C．1.2  D．1.3

2．已知随机变量X的分布列为

且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则 a等于(　　)

A．－3  B．－2  C.  D．3

3．随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

4．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D.

5．(2023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：

规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大(　　)

A．FDE  B．FED  C．DEF  D．EDF

6．(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为

当m在(0,1)上增大时，则(　　)

A．E(ξ)减小

B．E(ξ)增大

C．D(ξ)先增后减，最大值为

D．D(ξ)先减后增，最小值为

7．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．

若随机变量ξ的均值E(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________.

8．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________.

9．若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

10．(2023·临汾模拟)某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束．

(1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；

(2)甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案．

方案一：2人共同行动；

方案二：2人分头行动．

分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的均值．

11．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为(　　)

A.  B.  C.  D.

12．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆环B中得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，.甲、乙所得分数相同的概率为________；若甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的均值为________．

13．(多选)核酸检测有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为(k＋1)次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0<p<1)，若k＝10，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式(参考数据：lg 0.794≈－0.1)(　　)

A．0.1  B．0.2  C．0.4  D．0.5

14．某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈，发球次数为X，则P(X＝3)的最大值为________；若E(X)<，则p的取值范围是________．

参考答案

1．D　2.A　3.C　4.B

5．C　[按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5

＝138(元)；

按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8

＝132(元)；

按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3

＝196(元)；

按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3

＝176(元)，

综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大．]

6．BD　[由题意得，＋＋＝1，解得a＝1，

E(ξ)＝0×＋m×＋1×＝＋，

所以当m在(0,1)上增大时，E(ξ)增大，故A错误，B正确；

D(ξ)＝

＝

＝2＋，

所以当m在(0,1)上增大时，D(ξ)先减小后增大，

当m＝时，D(ξ)取得最小值，故C错误，D正确．]

7．11

8.　

解析　P(X＝2)＝××＋××＋××＝；

P(X＝0)＝××＝，

P(X＝1)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝，

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

9．解　根据月工资的分布列，可得E(X1)＝4 200×0.4＋4 400×0.3＋4 600×0.2＋4 800×0.1

＝4 400(元)，

D(X1)＝(4 200－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 600－4 400)2×0.2＋(4 800－4 400)2 ×0.1＝40 000；

E(X2)＝4 000×0.4＋4 400×0.3＋4 800×0.2＋5 200×0.1＝4 400(元)，

D(X2)＝(4 000－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 800－4 400)2×0.2＋(5 200－4 400)2 ×0.1＝160 000.

因为E(X1)＝E(X2)，

D(X1)<D(X2)，

所以两家单位的月工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．如果你认为自己能力较强，通过一段时间的努力可以获得高工资职位，可选择乙单位；如果你认为自己能力一般，则选择甲单位可能得到更高的收入，可选择甲单位．

10．解　(1)设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X(单位：分钟)，

则X的所有可能取值为3,6,9，

P(X＝3)＝，P(X＝6)＝＋×＝，

P(X＝9)＝×＝，

所以E(X)＝3×＋6×＋9×＝(分钟)，

即一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值为 分钟．

(2)由(1)知，按照方案一：2人共同行动所用时间和的均值为

×2＝11(分钟)．

按照方案二：设两人走出迷宫所用时间和为Y(单位：分钟)，

则Y的所有可能取值为9,12,15，

P(Y＝9)＝2×

＝，

P(Y＝12)＝2×＝，

P(Y＝15)＝2×

＝，

所以E(Y)＝9×＋12×＋15×＝11(分钟)，

即按照方案二，两人所用时间和的均值为11分钟．

11．B　[记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15，

P(X＝0)＝2×＝，

P(X＝5)＝C×××＋2×＝，

P(X＝10)＝C×××＋2×＝，

P(X＝15)＝2×＝，

所以E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.]

12.　

解析　由题意知，甲得0分的概率为1－－－＝，

乙得0分的概率为

1－－－＝，

则甲、乙所得分数相同的概率为×＋×＋×＋×＝.

因为甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，

则P(X＝0)＝×＝；

P(X＝1)＝×＋×＝；

P(X＝2)＝×＋×＋×＝；

P(X＝3)＝×＋×＋×＋×＝；

P(X＝4)＝×＋×＋×＝；

P(X＝5)＝×＋×＝；

P(X＝6)＝×＝，

则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×

＝.

13．AB　[设混合检测方式中样本需要检测的总次数为Y，则Y的所有可能取值为1,11，

P(Y＝1)＝(1－p)10，

P(Y＝11)＝1－(1－p)10，

E(Y)＝1×(1－p)10＋11×[1－(1－p)10]

＝11－10×(1－p)10，

设逐份检测中样本需要检测的总次数为X，则E(X)＝10，

若混合检测方式优于逐份检测方式，需E(Y)<E(X)，即11－10×(1－p)10<10，即1－p>10－0.1，

∵lg 0.794≈－0.1，

∴1－p>10lg 0.794≈0.794，

∴0<p<0.206.]

14. 　

解析　由题意，得X的所有可能取值为1,2,3,4，

所以P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p，

P(X＝4)＝(1－p)3，

令f(x)＝(1－x)2x＝x3－2x2＋x，x∈，

则f′(x)＝3x2－4x＋1

＝(3x－1)(x－1)，

当<x<时，f′(x)>0，

当<x<时，f′(x)<0，

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，

所以f(x)max＝f 

＝2×＝，

即P(X＝3)max＝.

又E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2p＋4(1－p)3<，

即－p3＋4p2－6p＋<0，

令h(x)＝－x3＋4x2－6x＋，x∈，

则h′(x)＝－3x2＋8x－6

＝－32－<0，

所以h(x)在上单调递减，

又h＝0，

所以当x∈时，h(x)<0，

所以当p∈时，E(X)<.