初中数学苏科版七年级下册12.2 证明单元测试练习题

苏科版七年级数学下册

第12章《证明》

单元测试题（5）（含答案）

一、选择题（共10题，每题3分，共30分）

1．下列语句中，属于定义的是（　　）

2．下列命题中，属于真命题的是（　　）

3．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（　　）

4．下列命题的逆命题成立的是（　　）

A．对顶角相等 

B．全等三角形的对应角相等 

C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 

D．两直线平行，同位角相等

5．下列命题是真命题的是（　　）

A．如果两角是同位角，那么这两角一定相等 

B．两互补的角一定是邻补角 

C．如果a2＝b2，那么a＝b 

D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

6．下面3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角，其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7.下列语句：

①一条直线有且只有一条垂线；

②不相等的两个角一定不是对顶角；

③两条不相交的直线叫做平行线；

④一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等；

⑤不在同一直线上的四个点最多可以画6条直线.

其中错误的有（     ）

A.2个       B.3个      C.4个      D.5个

8.如图所示，直线AB、CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD

于点C，若∠ECO=30°，则∠DOT等于（　　）

A．30°      B．45°     C．60°      D．120°

9．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°

10．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝30°，则∠3＝（　　）

A．30° B．40° C．45° D．70°

二、填空题（共8题，每题3分，共24分）

1．命题“同旁内角互补”中，题设是_________，结论是_________．

2. 如图，与∠1构成同位角的是______，与∠2构成内错角的是______.

第2题图     第3题图

3.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，

∠BCD=80°，则∠CDE=       度.

4．在△ABC中，如果∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于_________度．

5．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别为________度，________度．

6．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝25°，∠3＝20°则∠2的度数为　              　°．

7．如图，如果∠　　＝∠　　，那么根据　              　可得AD∥BC（写出一个正确的就可以）．

8．如图，AB∥CD，∠CDE＝120°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠F＝　                  　．

三、解答题（共5题，8分+8分+10分+10分+10分，共46分）

1．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．

已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．

求证：l1与l2不平行．

证明：假设l1　_________　l2，

则∠1+∠2　_________　180°（两直线平行，同旁内角互补）.

这与　_________　矛盾，故　_________　不成立．

所以　_________　．

2．如图，△ABE中，∠A＝∠E，BE是∠DBC的角平分线，求证：∠ACB＝3∠A．

3．如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线，∠A=58°，求∠H的度数．

4．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B； ②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE，试回答下列问题：

（1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*、*，那么*）；

（2）选择（1）中你写出的任一命题，说明理由．

5．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．

（1）直接写出△BCD的面积．

（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．

（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

答案

一、1.C   解析：A不是，这是一个疑问句；B不是，这是一个作法；C是，这是方程的定义；D不是，这是一个定理.故选C．

2. B   解析：由补角的定义可知A错误；由平行公理推论可知B正确；若a、b、c不在同一平面内则不成立，所以C错误；互补的两个角不一定相邻，所以不一定有公共边.故D错误．

3.D   解析：“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选D．

4、【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．

【答案】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；

B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；

C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；

D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，

故选：D．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．

5、【分析】利用同位角的性质、邻补角的定义、平方的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【答案】解：A、如果两角是同位角，那么这两角不一定相等，故错误；

B、两互补的角不一定是邻补角，故错误；

C、如果a2＝b2，那么a＝±b，故错误；

D、如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角，正确，

故选：D．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解同位角的性质、邻补角的定义、平方的性质，难度不大．

6、【分析】根据三角形的内角和定理，对③举出反例，证明其错误．

【答案】解：①正确，如果有两个直角，那么内角和大于180°；

②正确；

③不一定，例如：90°，45°，45°．

故选：C．

【点睛】主要考查三角形的内角和定理的灵活应用．

7.B   解析：一条直线有无数条垂线，①错误；不相等的两个角一定不是对顶角，②正确；

在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，③错误；一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，④错误；⑤正确．所以错误的有3个，故选B．

8.C   解析：∵ CE∥AB，∴ ∠DOB=∠ECO=30°.
∵ OT⊥AB，∴ ∠BOT=90°，
∴ ∠DOT=∠BOT-∠DOB=90°-30°=60°．故选C．

9、【分析】先根据三角形内角和定理得出∠E+∠F＝∠OAD+∠ODA，再根据四边形内角和是360°进行解答即可．

【答案】解：如图所示，连接AD，设DE，AF交于点O，

则∠AOD＝∠EOF，

∴∠E+∠F＝∠OAD+∠ODA，

又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠B+∠C+∠ADC＝360°，

∴∠OAB+∠B+∠C+∠CDE+∠ODA+∠OAD＝360°，

即∠OAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°，

故选：B．

【点睛】本题考查的是三角形内角和以及多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解答此题的关键．

10、【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠ECF，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECF，根据三角形的外角的性质列式计算即可．

【答案】解：∵CE平分∠ACD，

∴∠1＝∠ECF，

∵FG∥CE，

∴∠F＝∠ECF，

∵∠FCD＝∠3+∠BAC，∠BAC＝∠2+∠F，

∴∠FCD＝∠3+∠2+∠F，

∴∠1+∠ECF＝∠3+∠2+∠F，

∴∠2+∠3＝∠1，

又∵∠1＝70°，∠2＝30°，

∴∠3＝70°﹣30°＝40°，

故选：B．

【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

二、

1.两个角是同旁内角   这两个角互补   解析：∵ 命题“同旁内角互补”可以写成“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”，∴ 命题“同旁内角互补”中，题设是两个角是同旁内角，结论是这两个角互补．

2.∠   ∠    解析：根据同位角、内错角的定义可知，与∠1构成同位角的是∠，与∠2构成内错角的是∠．

3. 20    解析：过点C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，∴ AB∥DE，∴ CF∥DE，∴ ∠BCF+∠ABC=180°，
∴ ∠BCF=60°，∴ ∠DCF=20°，∴ ∠CDE=∠DCF=20°．

第3题答图

4.117   解析：根据三角形内角与外角的关系得：∠A的外角=∠B+

∠C=45°+72°=117°．

5.35  55   解析：设其中较小的一个锐角是x°，则另一个锐角是x°+20°，∵ 直角三角形的两个锐角互余，∴ x°+x°+20°=90°，∴ x°=35°，x°+20=55°．

6、【分析】根据三角形外角性质求出∠4，根据平行线性质得出∠2＝∠4，代入求出即可．

【答案】解：

∠4＝∠1+∠3＝25°+20°＝45°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠4＝45°，

故答案为：45．

【点睛】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．

7、【分析】根据平行线的判定方法解答即可．

【答案】解：如果∠5＝∠B，那么根据（同位角相等，两直线平行）可得AD∥BC，

或：如果∠1＝∠3，那么根据（内错角相等，两直线平行）可得AD∥BC．

故答案为：5，B，同位角相等，两直线平行．

【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．

8、【分析】根据平行线的性质得到∠BED＝∠CDE＝120°，由角平分线的定义得到∠BEF＝∠BED＝60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

【答案】解：∵AB∥CD，∠CDE＝120°，

∴∠BED＝∠CDE＝120°，

∵EF平分∠BED，

∴∠BEF＝∠BED＝60°，

∴∠GEF＝120°，

∵∠AGF＝130°，

∴∠F＝∠AGF﹣∠GEF＝10°．

故答案为：10°．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．

三、

1..解：已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．

求证：l1与l2不平行．

证明：假设l1∥l2，

则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．

所以l1与l2不平行．

用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1∥l2，根据平行线的性质，可得∠1+∠2=180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2不平行．

证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），

这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．

2、【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EBD＝2∠A，根据角平分线的定义可得∠CBE＝∠EBD，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式证明即可．

【答案】证明：∵∠EBD＝∠A+∠E，∠A＝∠E，

∴∠EBD＝2∠A，

∵BE平分∠DBC，

∴∠CBE＝∠EBD，

∴∠CBE＝2∠A，

又∵∠ACB＝∠E+∠CBE，

∴∠ACB＝∠A+2∠A＝3∠A．

【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．

3、.解：∵ ∠A=58°，∴ ∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣58°=122°①.

∵ BH是∠ABC的平分线，∴ ∠HBC=∠ABC.

∵ ∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的平分线，

∴ ∠ACH=（∠A+∠ABC），

∴ ∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+（∠A+∠ABC）.

∵ ∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，

∴ ∠H+∠ABC+∠ACB+（∠A+∠ABC）=180°，

即∠H+（∠ABC+∠ACB）+∠A=180°②，

把①代入②得，∠H+122°+58°=180°，

∴ ∠H=29°．

4、【分析】（1）答案一：如果①，②，那么③；答案二：如果②、③，那么①；答案三：如果①，③，那么 ②；

（2）利用平行线的性质和判定可以一一证明；

【答案】解：（1）答案一：如果①，②，那么③；

答案二：如果②、③，那么①；

答案三：如果①，③，那么 ②；

（2）答案一：如果①，②，那么 ③：

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD，

∵∠A＝∠B，

∴∠BCD＝∠DCE；

答案二：如果②、③，那么 ①：

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD，

∵∠BCD＝∠DCE，

∴∠A＝∠B；

答案三：如果 ①，③，那么②：

∵∠A+∠B＝180°﹣∠BCA，∠BCE＝180°﹣∠BCA，

∴∠BCE＝∠A+∠B，

∵∠BCD＝∠DCE，∠A＝∠B，

∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD，

∴AB∥CD．

【点睛】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

5、【分析】（1）因为△BCD的高为OC，所以S△BCD＝CD•OC，

（2）利用∠CFE+∠CBF＝90°，∠OBE+∠OEB＝90°，求出∠CEF＝∠CFE．

（3）由∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，∠H+∠HCA＝∠DAC，∠ACB＝2∠HCA，求出∠ABC＝2∠H，即可得答案．

【答案】解：（1）S△BCD＝CD•OC＝×3×2＝3．

（2）如图②，

∵AC⊥BC，

∴∠BCF＝90°，

∴∠CFE+∠CBF＝90°，

∵直线MN⊥直线PQ，

∴∠BOC＝∠OBE+∠OEB＝90°，

∵BF是∠CBA的平分线，

∴∠CBF＝∠OBE，

∵∠CEF＝∠OBE，

∴∠CFE+∠CBF＝∠CEF+∠OBE，

∴∠CEF＝∠CFE．

（3）如图③，

∵直线l∥PQ，

∴∠ADC＝∠PAD，

∵∠ADC＝∠DAC

∴∠CAP＝2∠DAC，

∵∠ABC+∠ACB＝∠CAP，

∴∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，

∵∠H+∠HCA＝∠DAC，

∴∠ABC+∠ACB＝2∠H+2∠HCA

∵CH是，∠ACB的平分线，

∴∠ACB＝2∠HCA，

∴∠ABC＝2∠H，

∴＝．

【点睛】本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解．