2023年河南省商丘市柘城县中考数学二模试卷(含答案)

2023年河南省商丘市柘城县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  运营商和互联网大数据显示，线下消费成为年春节消费最亮增长点，春节期间商圈接待量达亿人次，比去年增长，其中数据“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列调查中适合全面调查的是(    )

A. 对某品牌灯泡的使用寿命的调查
B. 对黄河流域中的生物多样性情况的调查
C. 对某市中学生的睡眠情况的调查
D. 对神舟十四号载人飞船发射前的零部件的检查

4.  如图，是由个大小相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根

7.  将国际数学家大会的其中两个奖章正反两面的图案分别印在张完全相同的空白卡片上，如图现将张卡片印有图案的一面朝下洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的图案恰好是同一个奖章的正反面的概率是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在菱形中，点是对角线，的交点，点是上一点，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，已知是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点在轴正半轴上，点，将沿轴正方向平移得到，若点恰好落在直线上，则此时点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  智能手机已遍及生活中的各个角落，手机拍照功能也越来越强，高档智能手机还具有调焦调整镜头和感光芯片的距离的功能为了验证手机摄像头的放大率摄像头的放大率是指成像长度与实物长度的比值，也可计算为像距与物距的比值，小明用某透镜进行了模拟成像实验，得到如图所示的像距随物距变化的关系图象，下列说法不正确的是(    )

A. 当物距为时，像距为
B. 当像距为时，透镜的放大率为
C. 物距越大，像距越小
D. 当透镜的放大率为时，物距和像距均为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若二次根式有意义，则的取值范围是______ ．

12.  请写出一个图象经过轴正半轴的函数的解析式______ ．

13.  一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示方式逛放，其中三角板的一个顶点落在直尺上若，则 ______ ．

14.  如图，在扇形中，，点，分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点若，则图中阴影部分的面积是______ ．

15.  如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，连接，，将绕点旋转得到线段，连接，当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解二元一次方程程：．

17.  本小题分
中共中央国务院关于做好年全面推进乡村振兴重点工作的意见指出：实施玉米单产提升工程为了加快玉米生物育种产业化步伐，某省农科院选择个试验点乡镇，每个乡镇选择两块自然条件相近的试验田分别种植培育，两种玉米种子，得到的亩产量数据如下单位：：
种玉米：
种玉米：
整理以上数据，并绘制如图所示的折线统计图根据以上信息，回答下列问题：
种玉米亩产量的中位数为______ ，种玉米亩产量的中位数为______ ；
观察折线统计图，从玉米的亩产量或亩产量的稳定性的角度分析，你认为农科院应推荐种植哪种玉米？并说明理由．

18.  本小题分
如图，▱的顶点与坐标原点重合，边在轴正半轴上，，，反比例函数的图象经过顶点，与边交于点．
求反比例函数的表达式；
尺规作图：作的平分线交轴于点；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，连接，若，求证：．

19.  本小题分
无影塔位于河南汝南城南，俗传夏至正午无塔影，故称无影塔某数学兴趣小组在学习完锐角三角函数后，分成，两个小组利用无人机测量无影塔的高度，如下是两个小组设计的两种测量方案．

他们在计算过程中发现组的方案比组的方案误差大，为什么？
请利用组的方案求该塔的高度．

20.  本小题分
某学校为做好绿化、改善育人环境，准备购买，两种树苗在学校栽种已知棵种树苗比棵种树苗贵元，用元购买的种树苗与用元购买的种树苗的数量相同．
求购买棵种树苗和棵种树苗各需多少元；
若该校计划购买，两种树苗共棵，且种树苗的数量不少于种树苗的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？

21.  本小题分
如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为，水面宽．
请你建立合适的平面直角坐标系，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式；
已知一艘船可近似看成长方体在此航行时露出水面的高度为，若这艘船的宽度为，当水位线比正常水位线高出时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．

22.  本小题分
综合与探究
我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．
【探究】
圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数之间有什么关系？
【实验】
如图，当圆外角的两条边分别与有两个公共点时，改变的度数，测量得到如下数据：

猜想： ______ 用含，的式子表示

【特例】
当圆外角的其中一条边与只有一个公共点时，如图，射线与相切于点，射线经过圆心，交于另一点，设，所对的圆心角度数分别为，，写出的度数与，之间的数量关系，并证明．
【应用】
在的条件下，连接，若，，求的半径．

23.  本小题分
综合与实践
在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图，在等腰直角三角形中，，是边上一动点不与点重合，，，交于点猜想线段，之间的数量关系并说明理由．

小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解张老师给出提示：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”两人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务一：如图，猜想线段，之间的数量关系为______ ；
任务二：通过阅读上述讨论，请在小聪与小明的方法中选择一种，就图中的情形判断线段，之间的数量关系，并给出证明；
任务三：若，其他条件不变，当是直角三角形时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
根据相反数的定义，即可解答．
【解答】
解：的相反数是，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：数据“亿”用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：对某品牌灯泡的使用寿命的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B.对黄河流域中的生物多样性情况的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C.对某市中学生的睡眠情况的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D.对神舟十四号载人飞船发射前的零部件的检查事关重大，适合全面调查，故本选项符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是、、．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将两个奖章正反两面的四个图案分别记作、、、，
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中这两张卡片上的图案恰好是同一个奖章的正反面有种结果，
所以这两张卡片上的图案恰好是同一个奖章的正反面概率为，
故选：．
将两个奖章正反两面的四个图案分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是根据题意利用表格或树状图列举出所有等可能结果，并从中找到符合条件的结果数．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，
四边形为菱形，，，
，，，
，
，
，
，
即，
解得，
．
故选：．
由菱形的性质得出，，，证出，则可得出答案．
本题主要考查了菱形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，
点的坐标为．
点是点向右平移得到的点，
点的纵坐标为．
当时，，
解得：，
点的坐标为，
点是点向右平移个单位长度得到的点，
点是点向右平移个单位长度得到的点，
点的坐标为．
故选：．
由点的坐标，可得出的长，结合等腰直角三角形的性质，可得出的长，由平移的性质，可知点的纵坐标为，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点的坐标，结合点的坐标，可得出点是点向右平移个单位长度得到的点，进而可得出点是点向右平移个单位长度得到的点，再结合点的坐标，即可得出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及坐标与图形变化平移，利用平移的性质及一次函数图象上点的坐标特征，找出点的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知，当物距为时，像距为，故选项A说法正确，不符合题意；
由题意可知，当像距为时，物距为，放大率为，故选项B说法错误，符合题意；
由题意可知，物距越大，像距越小，故选项C说法正确，不符合题意；
由题意可知，当透镜的放大率为时，物距和像距均为，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：．
根据函数图象逐一分析即可．
本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：依题意，一次函数函数的图象经过轴正半轴，
如答案不唯一．
故答案为： 答案不唯一．
图象经过轴正半轴，要求解析式中，当时，．
本题考查了函数的综合运用，一次函数的图象经过轴正半轴，二次函数的图象也可能经过原点，写出一个即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

直尺的对边平行，，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，再由三角形的内角和即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，连接、，则，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
过点作交于点，连接、，则，即可求得，根据平行线的性质以及平角的定义求得，进一步求得，从而求得，，然后根据求得即可．
本题主要考查的是翻折的性质、平行线的性质、解直角三角形，扇形的面积，将不规则图形面积转化为规则图形的面积的和差进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于，
，
点是的中点，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
；
如图，将绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于，
同理可求，，
，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是． 

【解析】先根据绝对值和零指数幂进行计算，再算加减即可；
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了零指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：种玉米：先将亩产量数据按从小到大的顺序排列，得到，，，，，，，，，，
该组数据的中位数为，
种玉米：先将亩产量数据按从小到大的顺序排列，得到，，，，，，，，，，
该组数据的中位数为，
故答案为：，；
观察折线统计图可知：种玉米的亩产量较高，种玉米的亩产量比较稳定，
所以从玉米的亩产量来看，应该推荐种植种玉米．或“从亩产量的稳定性来看，应该推荐种植种玉米”．
根据中位数的概念得出结论即可；
从玉米的亩产量或亩产量的稳定性的角度分析，得出结论即可．
本题主要考查折线统计图的知识，熟练掌握折线统计图是解题的关键．
 

18.【答案】解：过点作于点，
在中，，，
，，
，
把代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为：；
如图所示，所作射线即为所求：
在▱中，，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】过点作于点，根据三角函数得出，，进而利用待定系数法得出表达式解答即可；
根据角平分线的画法画出图形即可；
根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明即可．
此题是反比例函数的综合题，考查待定系数法得出反比例函数的表达式，平行四边形的性质，关键是利用三角函数得出边的长度解答．
 

19.【答案】解：组的方案测得是塔底端的俯角，而不是塔底正中心的，所以组的方案比组的方案误差大；
过点作，垂足为，

设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
无人机距离塔底端所在水平地面的距离为，
该塔的高度，
该塔的高度约为． 

【解析】根据组的测量方案：点为塔底座的最右端，而不是塔的中心线与地平线的交点，即可解答；
过点作，垂足为，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：设棵种树苗元，则棵种树苗元，
由题意得，，
解得，，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买棵种树苗需要元，购买棵种树苗需要元．
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，购买费用为元，
种树苗的数量不少于种树苗的一半，
，
，
由题意得，，
，
随的增大而增大，
当时，去的最小值，最小值为，
此时，，
答：当购买种树苗棵，购买种树苗棵时，购买费用最低，最低费用为元． 

【解析】设棵种树苗元，则棵种树苗元，根据用元购买的种树苗与用元购买的种树苗的数量相同，列出分式方程求解即可．
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，购买费用为元，先求出的取值范围，再列出关于的二次函数关系式，取最小值即可得到结果．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量或不等关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
观察图象可得，抛物线顶点，过点，
设抛物线的解析式为，
把代入上式得，
，
解得，，
该抛物线的解析式为．
能通过，理由如下：
当水位线比正常水位线高出时，此时船的最高点的纵坐标为，
将代入中得，
，
解得，，
此时与这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为，
，
这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过． 

【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，把代入式中，求出即可．
能．当水位线比正常水位线高出时，此时船的最高点的纵坐标为，将代入中求出，得到拱桥的宽度与比较即可得结果．
本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，适当建立坐标系，利用待定系数法求出解析式是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：根据表中数据可猜想，
故答案是：．
，证明如下：
连接，如图所示，
与相切于点，
．
，即．
，即，
．
．

过点作于点，如图所示．
，
可设，．
，．
．
，，
∽．
，即，
解得，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得负值已舍去．
．
的半径为．
通过分析表格中数据间的数量关系即可得出猜想；
连接，根据切线的性质推出，再由，即可推出；
过点作于点，根据，设，，再证明∽得出，求出，最后利用勾股定理即可求出圆的半径．
本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：任务一：如图，分别延长，交于点，

，，
，，
，
≌，
，
；
，
，
，
，
，
≌，
，
；
故答案为：；
任务二：选择小明的方法：．
证明：如图，过点分别作，的平行线，交于点，，

是等腰直角三角形，，
，
，，，
．
，，
．
．
．
，．
，
．
，
即，
．
∽．
，．
，
即，
．
．
，
．
任务三：或，
由题意，可分以下两种情况进行讨论．
如图，当时，点与点重合，

；
如图，当时，

是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
．
．，
综上所述，的长为或．
任务一：如图，分别延长，交于点，根据等腰直角三角形的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
任务二：如图，过点分别作，的平行线，交于点，，如解图所示．根据等腰直角三角形 到现在得到，求得推出根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
任务三：由题意，可分以下两种情况进行讨论．如图，当时，点与点重合，根据等腰直角三角形的性质得到；如图，当时，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．