北京市海淀区北京一零一中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试卷

北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷

一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合M＝｛x∈Z|1g（x-1）≤0｝，N＝｛x∈Z|x|＜2}，则MN＝（    ）

A.    B. （1，2）  C. （-2，2］   D. {-1，0，1，2｝

2. 如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（    ）

A. b＝3，ac＝9 B. b＝-3，ac＝9 C. b＝3，ac＝-9  D. b＝-3，ac＝-9

3. 设，都是单调函数，有如下四个命题：

①若单调递增，单调递增，则-单调递增；

②若单调递增，单调递减，则-单调递增；

③若单调递减，单调递增，则-单调递减；

④若单调递减，单调递减，则-单调递减。

其中，正确的命题是（    ）

A. ①③   B. ①④   C. ②③    D. ②④

4. 若ab＞0，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.   B. ＜  C.   D. ＞

5. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是（    ）

A. 钝角三角形     B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形    D. 直角三角形，但不是等腰三角形

6. 已知函数＝cos2x-sin2x（＞0）的最小正周期为，则（    ）

A. 在（0，）内单调递增   

B. 在（0，）内单调递减

C. 在（，）内单调递增  

D. 在（，）内单调递减

7. 若是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）-f（4）＝（    ）

A. -1   B. 1    C. -2    D. 2

8. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3，3］的大致图像，则该函数是（    ）

A.   B.   C.   D.

9. 已知函数＝x3+x2-2|x|-k。若存在实数x0，使得f（-x0）＝-f（x0）成立，则实数k的取值范围是（    ）

A. ［-1，+∞）  B. （-∞，-1］  C. ［0，+∞）  D. （-∞，0］

10. 信息熵是信息论中的一个重要概念。设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P（X＝i）＝pi＞0（i＝1，2，…，n），，定义X的信息熵H（X）＝。给出下面四个结论：

①若n＝1，则H（x）＝0；

②若n＝2，则当时，H（x）取得最小值；

③若，则H（x）随着n的增大而增大；

④若n＝10，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，5，且P（Y＝j）＝pj+p11-j（j＝1，2，…，5），则H（X）＞H（Y）。

其中，正确结论的个数是（    ）

A. 1    B. 2     C. 3    D. 4

二、填空题共5小题。

11. 在△ABC中，a＝，b＝2，B＝2A，则cosA＝___________。

12. 若函数＝为奇函数，则参数a的值为___________。

13. 已知数列｛an｝满足an+1＝，n∈N*，若a3＝，则a1＝____________。

14. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12，设1≤i＜j＜k≤12。若k-j＝3且j-i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k-j＝4且j-i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦。用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________。

15. 已知函数＝sin2x-x3，若函数＝f（x-4）+x，则函数的图像的对称中心为__________；若数列｛an｝为等差数列，a1+a2+a3+…+a11＝44，则g（a1）+g（a2）+…+g（a11）＝__________。

三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 已知函数＝A sin（x+）（A＞0，＞0，0＜＜）的部分图像如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知。

（1）求函数的解析式；

（2）设函数＝·cos（2x+），若在区间［0，m］上单调递减，求m的最大值。

条件①：c-a＝；

条件②：b＝；

条件③：c＝。

17. 记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知S9＝-a5。

（1）若a3＝4，求｛an｝的通项公式；

（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围。

18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为S1，S2，S3，且S1-S2+S3=，sin B=。

（1）求△ABC的面积；

（2）若sinA sinC=，求b。

19. 已知函数

（1）求的值；

（2）求不等式＞1的解集；

（3）当x0＜0时，是否存在使得成立的x0值？若存在，直接写出x0的值；若不存在，说明理由。

20. 已知函数（aR）。

（1）当a＝0时，求曲线y＝在x＝0处的切线方程；

（2）求函数在［1，2］上的最小值。

21. 已知数列A：a1，a2，…，aN（N≥4），其中a1，a2，…，aN∈Z，且a1＜a2＜…＜aN。

若数列…，N满足1＝a1，N＝aN，当i＝2，3，…，N-1时，i＝ai-1+1或ai+1-1，则称：1，2，…，N为数列A的“紧数列”。

例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8。

（1）直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；

（2）已知数列A满足：a1＝1，aN＝2N，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为N+1；

（3）已知数列A满足：a1＝0，a2＝2，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合S（）＝｛ai-i|i＝2，3，…，N-1｝，如果对任意x∈S（），都有-xS（），那么称为数列A的“强紧数列”。若数列A存在“强紧数列”，求aN的最小值。（用关于N的代数式表示）

参考答案

1. D

2. （2006高考北京文6）B

3. （2001高考全国理10）C

4. （2022房山一模3）C

5. （2022朝阳高一下期末4）B

6. （2022昌平高三上期末7）B

7. （2010高考安徽理4）A

8. （2022高考全国乙文8）A

设＝，则f（1）＝0，故排除B；设h（x）＝，当x∈（0，）时，0＜cosx＜1，所以h（x）＝<≤1，故排除C；设＝，则g（3）＝＞0，故排除D。

9. （2019海淀高三上期中7）A

由f（-x0）＝-f（x0）得-x+x-2|x0|-k＝-（x+x-2|x0|-k），整理得k＝x-2|x0|，所以k∈［-1，+∞）。

10. （2020高考山东（改编）12）C

11. （2021丰台一模13）。

12. （2022高考上海8）1。

13. （2022东城高二上期末13）。

14. （2020高考全国II文（改编）3）10。

15. （原创）（4，6），66。

16. （2022西城高三上期末17）

（1）选条件①②；

因为c-a＝，所以＝，即T＝，则＝＝2。

由题意可知A＝2，则＝2sin（2x+）。

因为b＝，f（b）＝2sim（+）＝0，

所以，kZ，即＝+k。

因为0＜＜，所以＝，k＝1。

所以＝2sin（2x+）。

选条件①③：

因为c-a＝，所以，即T＝，则＝。

由题意可知A＝2，则＝2sin（2x+）。

因为c＝，f（c）＝2sin（+）＝-2，

所以+＝+2k，kZ，即＝+2k。

因为0＜＜，所以＝，k＝0。

所以＝2sin（2x+）。

选条件②③：

因为b＝，c＝，所以c-b＝＝，即T＝，则＝＝2。

由题意可知A＝2，则＝2sin（2x+）。

因为c＝，＝2sin（+）＝-2，

所以+＝+2k，kZ，即＝+2k。

因为0＜＜，所以＝，k＝0。

所以＝2sin（2x+）。

（2）由题意得＝sin（4x+）。

方法一：函数y＝sinx的单调递减区间为［+2k，+2k］（kZ）。

由+2k≤4x+≤+2k，

得-≤x≤。

因为函数y＝在区间［0，m］上单调递减，且0∈［-，］，此时k＝0。

所以m≤，所以m的最大值是。

方法二：因为x∈［0，m］，所以4x+[，4m+]。

由题意知y＝sint在［，4m+］上单调递减，

所以4m+≤，

所以m≤，所以m的最大值是。

17. （2019高考全国I文18）

（1）设｛an｝的公差为d。

由S9＝-a5得a1+4d＝0。

由a3＝4得a1+2d＝4。

于是a1＝8，d＝-2。

因此｛an｝的通项公式为an＝10-2n。

（2）由（1）得a1＝-4d，故an＝（n-5）d，Sn＝。

由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0，解得1≤n≤10。

所以n的取值范围是｛n|1≤n≤10，n∈N｝。

18. （2022高考全国Ⅱ 18）

（1）因为边长为a的正三角形的面积为a2，

所以S1-S2+S3＝＝，即ac cos B＝1，

由sinB＝得：cosB＝，所以ac＝=，

故S△ABC＝ac sin B＝××＝。

（2）由正弦定理得，

故b＝sin B＝。

19. （2022东城高二下期末18）

（1）f（f（-1））＝f（2）＝22＝4。

（2）由＞1，有或

解得x∈（-2，0）（0，+∞）。

（3）存在唯一的x0＝-1，使得f（x0）-f（-x0）＝0成立。

20. （2022房山二模19）

（1）当a＝0时，＝（x-1），＝x。

所以＝0，＝-1。

所以曲线y＝在x＝1处的切线方程为y＝-1。

（2）＝x-ax=x（-a）。

①当a≤0时，-a＞0。

所以x∈［1，2］时，＞0。

所以在［1，2］上是增函数。所以min＝f（1）＝-a。

②当a＞0时，令＝0，解得x1＝lna，x2＝0（舍）。

（A）当ln a≤1，即0＜a≤e时，x∈［1，2］时，＞0。

所以在［1，2］上是增函数。所以min＝f（1）＝-a。

（B）当1＜ln a＜2，即e＜a＜c2时，

所以min＝f（ln a）＝-。

（C）当ln a≥2，即a≥c2时，x∈［1，2］时，＜0。

所以在［1，2］上是减函数。所以min＝f（2）＝e2-2a。

综上，当a≤e时，min＝-a；

当e＜a＜e2时，min＝-a ln2a+a（lna-1）；

当a≥e2时，min＝e2-2a。

21. （2022西城高三上期末21）

（1）1：1，2，4，7，8；2：1，2，6，7，8；3：1，5，4，7，8；4：1，5，6，7，8。

（2）依题意，对任意i＝2，3，…，N-2，有i＝ai-1+1或ai+1-1，i+1＝ai+1或ai+2-1，

因为均为递增数列，所以有i＜i+1，即同时满足；

ai-1+1＜ai+1①，ai+1-1＜ai+2-1②，ai-1+1＜ai+2-1③，ai+1-1＜ai+1④。

因为A为递增数列，因此①和②恒成立。

又因为A为整数数列，对于③，ai-1+1≤ai＜ai+1≤ai+2-1也恒成立。

对于④，一方面，由ai+1-1＜ai+1，得ai+1＜ai+2，即ai+1≤ai+1。

另一方面，ai+1≥ai+1，

所以ai+1＝ai+1（i＝2，3，…，N-2），

即A从第2项到第N-1项是连续的正整数，

所以a2≥a1+1＝2，aN-1＝a2+N-3≤aN-1＝2N-1，因此2≤a2≤N+2，

故a2共有N+1种不同取值，即所有符合条件的数列A共有N+1个。

（3）记bn＝an-an-1，依题意，bn∈N*（n＝2，3，…，N）。

对任意i＝2，3，…，N-1，有ai-i＝bi-1或-bi+1+1，

注意到0S（），即对任意i∈{2，3，…，N-1｝，有ai-i≠0，

若ai-i＝bi-1≠0，则bi≠1，即bi≥2；

若ai-i＝-bi+1+1≠0，则bi+1≠1，即bi+1≥2，

即对任意i＝2，3，…，N-1，或者bi≥2，或者bi+1≥2。

所以bi+bi+1≥3，所以bi-1＝-bi+1+1不能成立。

记T1＝｛i|ai-i＝bi-1，i＝2，3，…，N-1｝，

T2＝｛i|ai-i＝-bi+1+1，i＝2，3，…，N-1｝，

则T1T2＝，且T1T2＝｛2，3，…，N-1｝。

注意到：若存在j∈T2且2≤j≤N-2，即aj-j＝-bj+1+1，则j+1∈T2。

否则，若j+1∈T1，则aj+1-j+1＝bj+1-1＝-（-bj+1+1）＝-（aj-j），不合题意。

因此集合T1，T2有以下三种情形：

①T1＝｛2，3，…，N-1｝，T2＝。

对任意i∈｛2，3，…，N-1｝，有bi≥2，

则aN＝a1+（b2+b3+…+bN-1）+bN≥0+（N-2）·2+1＝2N-3，

当且仅当：b2＝b3＝…＝bN-1＝2，bN＝1，

即A：0，2，4，…，2N-4，2N-3时，等号成立，

此时存在“强紧数列”：0，1，3，…，2N-3，

故此情形下，aN的最小值为2N-3；

②T1＝｛2，3，…，k｝，T2＝{k+1，k+2，…，N-1}，其中k＝2，3，…，N-2。

对任意i∈T1，有bi≥2，对任意j∈T2，有bj+1≥2。

aN＝a1+（b2+b3+…+bk）+bk+1+（bk+2+bk+3…+bN）

≥0+（k-1）·2+1+（N-k-1）·2＝2N-3。

故此情形下，aN的最小值不小于2N-3；

③T1＝，T2＝｛2，3，…，N-1｝。

对任意i∈｛2，3，…，N-1｝，有bi+1≥2，

aN＝a1+b2+（b3+b4…+bN）≥0+2+（N-2）·2＝2N-2＞2N-3。

故此情形下，aN的最小值不小于2N-3。

综上，aN的最小值为2N-3。