高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算练习

第六章　6.2　6.2.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝．

2．(多选题)下列等式中正确的是(　ABD　)

A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a

C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋

[解析]　当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|．

3．下列说法正确的是(　B　)

A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a与b的方向相同

B．在△ABC中，必有＋＋＝0

C．若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点

D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|

[解析]　A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；B正确；C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；D错，|a＋b|≤|a|＋|b|．故选B．

4．已知a∥b，且|a|＝4，|b|＝9，则a＋b的方向(　C　)

A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反

C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反

[解析]　因为a∥b，且|a|＝4，|b|＝9．

所以|b|＞|a|＞0，

所以当a，b同向时，a＋b的方向与b相同，当a，b反向时，因为|b|＞|a|，所以a＋b的方向仍与b相同．

5．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　B　)

A．0 B．

C． D．

[解析]　＋＋＝(＋)＋＝．

二、填空题

6．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为__20__，__4__．

[解析]　当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋b|＝8＋12＝20，

当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4．

当a，b不共线时，||a|－|b||＜|a|＋|b|，

即4＜|a＋b|＜20，综上知，4≤|a＋b|≤20，

所以最大值为20，最小值为4．

7．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝__1__．

[解析]　在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，则BD＝1，所以|＋|＝||＝1．

8．如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__120°__．

[解析]　因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°．

三、解答题

9．如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋c．

[解析]　a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．

解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c．

解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c不共线，如图(2)所示．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，

以、为邻边作▱OADB，则对角线＝a＋b，再作＝c，以、为邻边作▱OCED．

则＝a＋b＋c．

10．如图所示，求：

(1)a＋d；

(2)c＋b；

(3)e＋c＋b；

(4)c＋f＋b．

[解析]　(1)a＋d＝d＋a＝＋＝．

(2)c＋b＝＋＝．

(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝．

(4)c＋f＋b＝＋＋＝．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是(　A　)

A．[3，17] B．(3，17)

C．(3，10) D．[3，10]

[解析]　利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．

即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17．

2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　C　)

A．＋＝0 B．＋＝0

C．＋＝0 D．＋＋＝0

[解析]　∵＋＝2，

∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，

∴＋＝0．故选C．

3．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是(　B　)

A．直角三角形 B．等边三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

[解析]　＋＝，则||＝||＝||，

则△ABC是等边三角形．

4．(多选题)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则(　AC　)

A．a∥b B．a＋b＝a

C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|

[解析]　在▱ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量．因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，AC正确，B错误；|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，D错误．

二、填空题

5．某人在静水中游泳，速度为4 km/h．如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8__km/h__．

[解析]　∵OB＝4，OA＝4，

∴OC＝8，∴∠COA＝60°．

6．在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，向量||＝2，设a＝＋(＋)，则|a|＝____．

[解析]　因为在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，所以∠BAD＝60°，又AB＝AD＝2，所以△ABD为等边三角形，因此BD＝2，连接AC与BD且交于O点，则△ABO为Rt△，且AB＝2，BO＝1，AO⊥BO，所以AO＝＝，所以＝＝|＋|＝||＝．

三、解答题

7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：＋＝＋．

[解析]　∵＝＋，＝＋，

∴＋＝＋＋＋．

∵与大小相等，方向相反，

∴＋＝0．

故＋＝＋＋0＝＋．

8．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小．

[解析]　如图所示，过D作AC的平行线，交BC的延长线于点E．

∵DE∥AC，AD∥BE，

∴四边形ADEC为平行四边形，

∴＝，＝，

于是a＋b＋c＝＋＋

＝＋＝＋＝＝＋，

∴|a＋b＋c|＝|＋|＝8．