高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时练习

第六章　6.3　6.3.1

A组·素养自测

一、选择题

1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是(　B　)

A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1

C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2

[解析]　3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底．

2．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　A　)

A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)

C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)

[解析]　＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．

3．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于(　C　)

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]　如图，连接AO，由O为BC的中点可得，＝(＋)＝＋

∵M，O，N三点共线，则＋＝1，即m＋n＝2．

故选C．

4．如图所示，||＝||＝1，|OC|＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设＝x＋y，则(　B　)

A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1

C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1

[解析]　解法1：过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°．在Rt△OCD中，可得OD＝2CD＝2，则＝＋＝－2＋．∴x＝－2，y＝1．

解法2：画图知x＜0且y＞0，所以选B．

5．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，G为AC与DE的交点，若＝a，＝b，则用a，b表示＝(　B　)

A．a－b B．b－a

C．a－b D．b－a

[解析]　在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

故△ADG∽△CEG，所以＝＝2，

即＝2， ＝，

故＝－＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b ，故选B．

二、填空题

6．如右图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝__b＋a__．

[解析]　＝＋＝＋＝＋＝b＋a．

7．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋3b平行，则实数λ＝____．

[解析]　依据平行向量基本定理列方程组求解．

∵λa＋b与a＋3b平行，

∴可设λa＋b＝t(a＋3b)，

即λa＋b＝ta＋3tb，

∴解得

8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝__a－b__．

[解析]　设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，

∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，

∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2．

∵e1与e2不共线，∴

∴∴e1＋e2＝a－b．

三、解答题

9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝2e1－3e2，试用a，b表示c．

[解析]　设c＝xa＋yb，则2e1－3e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)，

即(3x－2y)e1＋(y－2x)e2＝2e1－3e2．

又e1，e2是平面内两个不共线的向量，

所以解得

所以c＝4a＋5b．

10．如图，平面内有三个向量，，．其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．

[解析]　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋．

在Rt△OCD中，∵||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，

∴||＝4，||＝2，

故＝4，＝2，

即λ＝4，μ＝2，

∴λ＋μ＝6．

B组·素养提升

一、选择题

1．(多选题)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中错误的是(　ABD　)

A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内

B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一

C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0

D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在

[解析]　选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．

2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　B　)

A．2 B．4

C．5 D．7

[解析]　以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，

则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，

因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，

所以解得所以＝4．故选B．

3．若＝a，＝b，＝λ，则＝(　D　)

A．a＋λb B．λa＋b

C．λa＋(1＋λ)b D．

[解析]　∵＝λ，

∴－＝λ(－)，

(1＋λ)＝λ＋，∴＝．

4．(多选题)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　BC　)

A．＝a－b B．＝－a＋b

C．＝－a－b D．＝a＋b

[解析]　如图，＝－(＋)＝－a－(－)＝－a－b－a＝－a－b，

故A错；＝(＋)＝－a＋b，故B正确；＝(＋)＝(－)＋＝－a－b，故C正确；＝＝(－)＝－a－b，故D错，故选BC．

二、填空题

5．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为__3__．

[解析]　设点E为边BC的中点，则

(＋)＝，

由题意，得＝，

所以＝＝(＋)＝＋，因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3．

6．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为__3__．

[解析]　方法一：设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，

由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λ(－m)a＋λb，

从而消去λ，得＋＝3．

方法二：由题意知＝×(＋)＝

＝＋，

又P，G，Q三点共线，由三点共线性质定理可知＋＝1，即＋＝3．

方法三：(特例)当PQ∥AB时，m＝n＝，∴＋＝3．

三、解答题

7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．

(1)证明：a，b可以作为一组基底；

(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；

(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

[解析]　(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．

由e1，e2不共线，

得⇒

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．

(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，

则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．

∴⇒

∴c＝2a＋b．

(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2．

∴⇒

故所求λ，μ的值分别为3和1．

8．如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量．

[解析]　易得＝＝b，＝＝a，

由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a．

由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b．

所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基底，

所以解得所以＝a＋b．