人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课后作业题

第六章　6.4　6.4.1、2

A组·素养自测

一、选择题

1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为(　C　)

A．(5,0) B．(－5,0)

C． D．－

[解析]　∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，

∴|＋|＝＝，故选C．

2．(2022·四川绵阳期末)△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)＜0，则△ABC是(　C　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．无法确定形状

[解析]　由已知，·(＋－)＝·2＜0，

∴A为钝角，故选C．

3．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(　B　)

(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)

A．63 B．69

C．75 D．81

[解析]　由题意知，F1＝F2＝400，夹角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002；|G|＝400(N)，

则该学生的体重(单位：kg)约为40＝40×1.732≈69(kg)．

4．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　D　)

A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点 D．三条高线的交点

[解析]　由·＝·，

得·－·＝0，

∴·(－)＝0，即·＝0．

∴⊥．同理可证⊥，⊥．

∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．

5．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为(　B　)

A．40 N B．10 N

C．20 N D．40 N

[解析]　如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．

由题意，易知|F|＝|F1|，

|F|＝20 N，

∴|F1|＝|F2|＝10 N．

当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，

此时|F合|＝|F1|＝10 N．

二、填空题

6．一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为__5__ N．

[解析]　根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)．

7．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是__－11__J．

[解析]　∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11 J．

8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是__[，]__．

[解析]　以α，β为邻边的平行四边形的面积为：

S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝，

所以sin θ＝，又因为|β|≤1，所以≥，

即sin θ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈．

三、解答题

9．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．

[解析]　以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．又＝(4，4)，

故F·＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24．合力F所做的功为24 J．

10．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD．

[解析]　∵＝＋，＝－，

∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0．

∴⊥．∴AC⊥BD．

B组·素养提升

一、选择题

1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)(　C　)

A．(－2,4) B．(－30,25)

C．(10，－5) D．(5，－10)

[解析]　5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．

2．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的(　D　)

A．内心 B．外心

C．垂心 D．重心

[解析]　如图，取AB的中点E，连接OE，

则＋＝2．又＋＋＝0．

所以＝－2．又O为公共点，

所以O，C，E三点共线，且||＝2||．

所以O为△ABC的重心．

3．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　B　)

A．1∶2 B．1∶3

C．1∶4 D．2∶5

[解析]　 如图，D为BC边的中点，则＝(＋)．

因为3－－＝0，

所以3＝2，所以＝，

所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC．

4．(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　AC　)

A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小

C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变

[解析]　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ．

则|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝．

因为|F|sin θ增大，所以船的浮力减小．

二、填空题

5．作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则|F1＋F2|的大小为____．

[解析]　|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos ＋52＝19，

所以|F1＋F2|＝．

6．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为__2__．

[解析]　设∠BAC＝θ，AD＝x(x＞0)，

则·＝2x·3·cos θ＝5，∴x·cos θ＝．

作DE⊥AB于点E(图略)，由DE2＋EB2＝BD2，

得(x·sin θ)2＋(3－x·cos θ)2＝5，

解得x＝1．∴AC＝2x＝2．

三、解答题

7．一物体受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用处于平衡状态，已知F1，F2的夹角为60°，F1，F2的模分别为3和4，求cos 〈F1，F3〉的值．

[解析]　∵－F3＝F1＋F2，∴|F3|2＝|F1＋F2|2＝F＋2F1·F2＋F＝9＋2×3×4×＋16＝37，则|F3|＝，又∵－F2＝F1＋F3，∴|F2|2＝|F1|2＋2F1·F3＋|F3|2，即16＝9＋2F1·F3＋37，解得F1·F3＝－15．

∴cos 〈F1，F3〉＝＝＝－．

8．在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?

[解的]　以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)．则＝(3，－4)，由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．

所以＝＝，于是M，所以＝，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，

则设＝λ，且0＜λ＜1，

即＝λ＝，所以＝＋＝(－6,0)＋＝，由于PC⊥BM，所以·＝0，得4(4λ－6)＋λ·＝0，解得λ＝．由于λ＝∉(0,1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．