人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时练习

第六章　6.4　6.4.3　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　A　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．4

[解析]　设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1．

2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　C　)

A．4 B．8

C．4或8 D．无解

[解析]　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，

利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，

即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8．

3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，

由余弦定理得

cos A＝＝，故选D．

4．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2＋b2，则△ABC为(　B　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．不存在

[解析]　∵c2＜a2＋b2，∴∠C为锐角．

∵a＜b＜c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．

5．(2022·平顶山高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acos A，则cos A＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　因为c＝2acos A，

由余弦定理可得c＝2a·，将a＝3，b＝5代入整理得c＝2，所以cos A＝＝．故选D．

二、填空题

6．在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为__120°__．

[解析]　由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝7∶5∶3，∴a边最大．又cos A＝＝－，∴A＝120°．

7．在△ABC中，B＝45°，AC＝，AB＝2，则BC＝__3__．

[解析]　由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcos B，又因为B＝45°，AC＝，AB＝2，所以()2＝BC2＋22－2×BC×2×cos 45°，

整理，得BC2－2BC－6＝0，

所以(BC－3)(BC＋)＝0，

解得BC＝3或BC＝－(舍去)，

所以BC边的长为3．

8．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsin A，则边a＝__2__．

[解析]　由已知及余弦定理，得sin A＝＝cos A，

∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos 45°＝4，a＝2．

三、解答题

9．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求角A、B、C．

[解析]　在△ABC中，由余弦定理，得

cos C＝＝

＝＝．

∴C＝45°；同理A＝30°．

∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°．

10．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．

[解析]　由余弦定理知cos B＝，

代入c＝acos B，得c＝a·，

∴c2＋b2＝a2．

∴△ABC是以A为直角的直角三角形．

又∵b＝asin C，∴b＝a·．∴b＝c．

∴△ABC也是等腰三角形．

综上所述，△ABC是等腰直角三角形．

B组·素养提升

一、选择题

1．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　B　)

A． B．

C． D．3

[解析]　如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4．

∵cos A＝＝，

∴sin A＝．

故BD＝AB·sin A＝3×＝．

2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　D　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　∵·＝||·||·cos 〈，〉，

由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos 〈，〉＝＝．

故·＝3×2×＝．

3．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　A　)

A．4 B．

C． D．2

[解析]cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C，

所以AB2＝1＋25－2×1×5×＝32，

所以AB＝4．

4．(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　AC　)

A． B．

C． D．π

[解析]　由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝ac，

∴sin B＝，∴B＝或π．故选AC．

二、填空题

5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝____．

[解析]　因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°，

即c2＝a2＋b2－ab．  ①

又因为(a＋b)2－c2＝4，

所以c2＝a2＋b2＋2ab－4．  ②

由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝．

6．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为__．

[解析]　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，

∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，

即a2＋b2－c2＝ab．

由余弦定理，得cos C＝＝＝，

∵0＜C＜π，∴C＝．

三、解答题

7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．

[解析]　由余弦定理的推论，得

cos A＝＝＝，

设中线长为x，由余弦定理知：

x2＝2＋AB2－2××ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7．所以，所求中线长为7．

8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc．

(1)求角A的大小；

(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．

[解析]　(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，

∴a2＝b2＋c2－bc，

而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝．

∵A∈(0，π)，∴A＝．

(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，

∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc．①

又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，

∴∴b＝c＝，

于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．