新教材2023年高中数学综合测试6第6章平面向量及其应用新人教A版必修第二册

第六章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题中正确的是(　D　)

A．－＝ B．＋＝0

C．0·＝0 D．＋＋＝

[解析]　起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0．

2．|e|＝1是向量e为单位向量的(　C　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　由单位向量的定义可知，|e|＝1是向量e为单位向量的充要条件．

3．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，则(　B　)

A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线

[解析]　＝λ＋－λ，所以－＝λ(－)，＝λ，由λ∈(1,2)可知，A，B，M三点共线，且B在线段AM上．

4．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于(　C　)

A．1 B．2

C．4 D．1或4

[解析]　在△ABC中，b＝，c＝，cos B＝，

由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accos B，

即7＝a2＋3－3a，

解得a＝4或a＝－1(舍去)．

故a的值为4．

5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　C　)

A．－6 B．－5

C．5 D．6

[解析]　c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，

即＝，解得t＝5．

故选C．

6．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　A　)

A．(30＋30)m B．(30＋15)m

C．(15＋30)m D．(15＋3)m

[解析]　方法一：在△ABP中，由正弦定理可得＝，则PB＝＝30(＋)(m)．

设树的高度为h，则h＝PBsin 45°＝(30＋30)m．

方法二：设树的高度为h，则AB＝－＝60，解得h＝(30＋30)m．

7．(2021·全国乙卷)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB＝(　A　)

A．＋表高 B．－表高

C．＋表距 D．－表距

[解析]　如图所示：

由平面相似可知，＝，＝，而DE＝FG，所以

＝＝＝＝，而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，

即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．故选A．

8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是(　D　)

A．2 B．0

C．－1 D．－2

[解析]　由平行四边形法则得＋＝2，

故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．

∵0≤t≤2，

∴当t＝1时，(＋)·取得最小值－2，故选D．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是(　ABC　)

A．0或1 B．2或3

C．4 D．6

[解析]　由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC．

10．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　AB　)

A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na

C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n

[解析]　对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；对于D，若a＝0，则m，n没有关系，错误．故选AB．

11．若△ABC为钝角三角形，且a＝2，b＝3，则边c的长度可以为(　AD　)

A．2 B．3

C． D．4

[解析]　由三角形的边长能构成三角形，则有1＜c＜5，

又a＜b，所以在△ABC中为钝角的可能为角B或角C．

则cos B＝＜0或cos C＝＜0

所以4＋c2－9＜0或4＋9－c2＜0，解得：1＜c＜或＜c＜5，

所以选项A、D满足．

故选AD．

12．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　AC　)

A．||＝|| B．||＝||

C．·3＝· D．·＝·

[解析]　＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，所以||＝＝1，||＝＝1，故||＝||，A正确； 由题意得：·＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，·＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos(α＋β)，C正确； 故选AC．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2021·北京卷)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝__0__；a·b＝__3__．

[解析]　∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，

∴a＋b＝(4,0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，

∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3．

14．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝__2__．

[解析]　由题意，S△ABC＝acsin B＝ac＝，

所以ac＝4，a2＋c2＝12，

所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，解得b＝2(负值舍去)．

故答案为：2．

15．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__．

[解析]　由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，＝a，＝b，∵a＋b＋c＝0，∴＝c，＝a－b．

∵(a－b)⊥c，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形．

∴|a|＝|b|＝1，|c|＝，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4．

16．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则角C＝____，△ABC面积的最大值为__4__．

[解析]　(a＋b－c)(a＋b＋c)＝(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab．

又∵a2＋b2－c2＝2abcos C，

∴2abcos C＝ab，∴cos C＝，

∵C∈(0，π)，∴C＝．

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

∴16＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，

∴ab≤16．

∴△ABC面积的最大值

S＝absin C≤×16×sin ＝4．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

[解析]　(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，

求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，

由－＝(4,4)，得|－|＝4．

(2)＝(－2，－1)，

∵(－t)·＝·－t2，

易求·＝－11，2＝5，

∴由(－t)·＝0得t＝－．

18．(本小题满分12分)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝．

(1)求△ABC的面积；

(2)若sin Asin C＝，求b．

[解析]　(1)由题意得S1＝·a2·＝a2，S2＝b2，S3＝c2，则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝，

即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cos B＝，整理得accos B＝1，则cos B＞0，

又sin B＝，

则cos B＝＝，ac＝＝，则S△ABC＝acsin B＝；

(2)由正弦定理得：＝＝，则＝·＝＝＝，则＝，b＝sin B＝．

19．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a＝2，______．

(1)求角A；

(2)求△ABC的周长l的范围．

注：在①m＝，n＝，且m·n＝－，

②(2b－c)cos A＝acos C，

③f(x)＝cos xcos－，f(A)＝．

这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

[解析]　(1)若选①，∵m＝，n＝，且m·n＝－，

∴m·n＝－cos2＋sin 2＝－，

∴cosA＝，∵A∈，∴A＝．

若选②，∵(2b－c)cos A＝acos C，

∴2bcos A＝acos C＋ccos A＝a·＋c·，

∴2bcos A＝b，∴cos A＝，

∵A∈，∴A＝．

若选③，f(x)＝cos  x－＝cos2x＋cos xsin x－＝×＋×－＝＝sin ，

∵f(A)＝，∴sin ＝．

∵A∈，∴A＝．

(2)∵＝4，∴l＝4sin ＋4sin B＋2，

∴l＝4sin ＋2．

∵△ABC为锐角三角形且A＝，∴B∈，

∴B＋∈，∴l∈(6＋2，6]．

20．(本小题满分12分)△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．

[解析]　如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)．

设＝λ，

则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．

又＝(－1,2)，⊥，

∴·＝0，

∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，

∴λ＝．

∴＝，＝－＝．

又＝(1,0)，∴cos ∠ADB＝＝，

cos ∠FDC＝＝，

又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，

∴∠ADB＝∠FDC．

21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile．当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile?

[解析]　解法一：如图，连接A1B2，

由题意知A2B2＝10 n mile，A1A2＝30×＝10 n mile．

所以A1A2＝A2B2．

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

所以△A1A2B2是等边三角形．

所以A1B2＝A1A2＝10 n mile．

由题意知，A1B1＝20 n mile，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，

在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200．

所以B1B2＝10 n mile．

因此，乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h)．

答：乙船每小时航行30 n mile．

解法二：如下图所示，连接A2B1，

由题意知A1B1＝20 n mile，A1A2＝30×

＝10 n mile，∠B1A1A2＝105°，

又cos 105°＝cos(45°＋60°)

＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝，

sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°

＝，

在△A2A1B1中，由余弦定理，得A2B＝A1B＋A1A－2A1B1·A1A2·cos 105°＝202＋(10)2－2×20×10×＝100(4＋2)，

所以A2B1＝10(1＋)n mile

由正弦定理，得sin ∠A1A2B1＝·sin ∠B1A1A2＝×＝，

所以∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos 15°＝sin 105°＝．

在△B1A2B2中，由题知A2B2＝10 n mile，

由余弦定理，得B1B＝A2B＋A2B－2A2B1·A2B2·cos 15°＝102(1＋)2＋(10)2－2×10(1＋)×10×＝200，

所以B1B2＝10 n mile，故乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h)．

答：乙船每小时航行30 n mile．

22．(本小题满分12分)已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R，k∈R)．

(1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值；

(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；

(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解析]　(1)∵b＋c＝(sin x－1，－1)，又a∥(b＋c)，

∴－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－．

又x∈[－，]，

∴x＝－．

(2)∵a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，

∴f(x)＝a·b＝2(2＋sin x)－2＝2sin x＋2．

又x∈R，

∴当sin x＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0．

(3)∵a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，

若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，

即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，

∴k＝sin 2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5．

由sin x∈[－1,1]，

∴－5≤(sin x＋1)2－5≤－1，得k∈[－5，－1]．

∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．