人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念课时作业

第七章　7.1　7.1.2

A组·素养自测

一、选择题

1．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　A　)

A．1或3 B．1

C．3 D．2

[解析]　依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．

2．(2022·西安高一检测)在复平面内，复数z＝1＋i，则对应的点位于(　D　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　因为复数z＝1＋i，所以＝1－i，则在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．

3．(2022·辽宁抚顺六校)若复数z满足|z＋i|＝1，则复数z在复平面内的点的轨迹为(　C　)

A．直线 B．椭圆

C．圆 D．抛物线

[解析]　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，由题意可得|x＋(y＋1)i|＝1，

则x2＋(y＋1)2＝1，

故复数z在复平面内的点的轨迹为圆．

4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　C　)

A．4＋8i B．8＋2i

C．2＋4i D．4＋i

[解析]　复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i．

5．已知0＜a＜2，复数z＝a－i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　B　)

A．(1，) B．(1，)

C．(1,3) D．(1,5)

[解析]　|z|2＝a2＋1，∵0＜a＜2,0＜a2＜4⇒1＜a2＋1＜5，∴1＜|z|＜．故选B．

二、填空题

6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝__－2＋3i__．

[解析]　∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．

∴z2＝－2＋3i．

7．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为__5__．

[解析]　复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝．解得a＝5．

8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，若a＝|1－5i|，b＝|x－yi|，c＝|y＋2i|则a，b，c中最大的是__a__．

[解析]　由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4．

而|1－5i|＝＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝2．

∵2＜5＜，∴|y＋2i|＜|x－yi|＜|1－5i|．

即c＜b＜a．

三、解答题

9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：

(1)对应点在x轴上方；

(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．

[解析]　(1)由m2－2m－15＞0，得知m＜－3或m＞5时，z的对应点在x轴上方；

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：

m＝或m＝，

z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．

10．已知复数z满足|z|＝1，|z－1|＝1，求复数z．

[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，

解得或．所以z＝±i．

B组·素养提升

一、选择题

1．“z1，z2互为共轭复数”是“|z1|＝|z2|”的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　当z1，z2互为共轭复数时，|z1|＝|z2|成立；当|z1|＝|z2|时，z1，z2不一定互为共轭复数，也可能z1＝z2．故选A．

2．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是(　C　)

A．－1 B．4

C．－1和4 D．－1和6

[解析]　由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．

3．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　C　)

A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i

C．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i

[解析]　向量向右平移一个单位后起点O′(1,0)，

∵＝＋＝＋＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，

∴点A′对应复数2＋i，又＝，

∴对应复数为1＋i．故选C．

4．(多选题)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是(　ABD　)

A．在复平面内，z对应的点在第一象限

B．z一定不是纯虚数

C．在复平面内，z对应的点在实轴上方

D．z一定是实数

[解析]　∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A，B，D错误．故选ABD．

二、填空题

5．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝__＋4i__．

[解析]　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则，所以，所以＝＋4i．

6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝____．

[解析]　因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4,3)，＝(2a，－3)．因为⊥，所以8a＝9，即a＝．

三、解答题

7．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．

[解析]　因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，

所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．

因为与共线，所以存在实数k使＝k，

即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，

所以所以

即a的值为－．

8．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．

[解析]　因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝．

又a，b的夹角为60°，所以cos 60°

＝，

即＝，解得m＝±．