数学10.2 事件的相互独立性同步训练题

第10章　10.2

A组·素养自测

一、选择题

1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝“既有正面向上又有反面向上”，B＝“至多有一个反面向上”，则A与B的关系是(　C　)

A．互斥事件 B．对立事件

C．相互独立事件 D．不相互独立事件

[解析]　由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的．

2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是(　C　)

A．0.64 B．0.56

C．0.81 D．0.99

[解析]　设Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，由题意知，A1，A2相互独立，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81．

3．事件A，B是相互独立的，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P(　)＝0.42．其中正确的有(　A　)

A．4个 B．2个

C．3个 D．1个

[解析]　事件A，B是相互独立的，由P(A)＝0.4，P(B)＝0.3知：在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中，P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正确．

4．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　甲要获得冠军共分为两种情况：

(1)第一场取胜，这种情况的概率为．

(2)第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×＝，则甲获得冠军的概率为＋＝．

5．(多选题)设M，N为两个随机事件，给出以下命题正确的是(　ABD　)

A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件

B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件

C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件

D．若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件

[解析]　在A中，若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确；在B中，若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故B正确；在C中，若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，当M，N为相互独立事件时，P(MN)＝×＝，故C错误；D．若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故D正确．

二、填空题

6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为____，问题得到解决的概率为____．

[解析]　甲、乙两人都未能解决的概率为×＝×＝，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，

∴P＝1－＝．

7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝____；P()＝____．

[解析]　∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝．∴P(A)＝P(A)P()＝×＝，P()＝P()P()＝×＝．

8．已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p＝__0.03__．

[解析]　由题意，得(1－0.01)(1－p)＝0.960 3，解得p＝0.03．

三、解答题

9．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．

(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．

[解析]　(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P(A)＝××＝．

(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，

则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝．

10．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否是相互独立的．

(1)求乙答对这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．

[解析]　(1)记事件A＝“甲答对这道题”，事件B＝“乙答对这道题”，事件C＝“丙答对这道题”．设乙答对这道题的概率P(B)＝x．

由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件．

由题意，根据相互独立事件同时发生的概率公式，

得P(　)＝P()·P()＝×(1－x)＝，

解得x＝，所以乙答对这道题的概率P(B)＝．

(2)设事件M＝“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，丙答对这道题的概率P(C)＝y．

根据相互独立事件同时发生的概率公式，

得P(BC)＝P(B)·P(C)＝×y＝，解得y＝．

甲、乙、丙三人都回答错误的概率P(　　)＝P()·P()·P()＝××＝．

因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以所求事件概率P(M)＝1－＝．

B组·素养提升

一、选择题

1．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　B　)

A．0.504 B．0.994

C．0.496 D．0.064

[解析]　由题意可知，系统的可靠性为1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.006＝0.994．

2．某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序生产出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为(　A　)

A．ab－a－b＋1 B．1－a－b

C．1－ab D．1－2ab

[解析]　由题意，两道工序生产出正品的概率分别是1－a,1－b，又这两道工序生产出废品是彼此无关的，故产品的合格率为(1－a)×(1－b)＝ab－a－b＋1．故选A．

3．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．

记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则＝∩，于是P()＝P()×P()＝×＝，故所求的概率P(H)＝1－P()＝1－＝．故选D．

4．甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛，甲能获得一等奖的概率是，乙能获得一等奖的概率是，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，则甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　由于甲能获得一等奖的概率是，乙能获得一等奖的概率是，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，

∴甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为P＝1－＝．

二、填空题

5．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为__0.09__．

[解析]　乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09．

6．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为____；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为____．

[解析]　甲、乙两球落入盒子的概率分别为，，且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．

三、解答题

7．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率．

[解析]　设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件A，B，C，不准确记为，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，

至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥．

所以至少两颗预报准确的概率为

P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．

8．市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其他道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的，同一条道路去程与回程是否堵车相互独立，假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵，上学和上班的人都会迟到．

(1)求李先生的小孩按时到校的概率；

(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？

[解析]　(1)因为道路D，E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，

所以从甲到丙出现拥堵的概率是×＋×＝，

所以李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝．

(2)由(1)知，甲到丙没有出现拥堵的概率是，则丙到甲没有出现拥堵的概率也是．

甲到乙出现拥堵的概率是×＋×＋×＝，

则甲到乙没有出现拥堵的概率是1－＝．

所以李先生上班途中没有出现拥堵的概率是××＝≈0.63＜0.7，

故李先生没有七成把握能够按时上班．