广东省深圳市石岩公学2022-2023学年高二下学期期末模拟测试数学试卷

深圳市石岩公学高二下学期期末模拟测试

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，则复数z的虚部为（   ）

A．-5 B．5 C．7 D．-7

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是（    ）

A．   B．   C．   D．

5．展开式中的系数是（    ）

A． B． C． D．

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，则（    ）

A．4 B． C．8 D．

二、多选题

9．关于函数的图象，下列说法正确的是（    ）

A．是曲线的一个对称中心  B．是曲线的一条对称轴

C．曲线向左平移个单位，可得曲线

D．曲线向右平移个单位，可得曲线

10．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ）

A．若，，则    B．若，，，，则

C．若，，则    D．若，，则

11．函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（    ）

A．    B．    C．   D．

12．已知函数如下表所示，则下列结论错误的是（    ）

A．        B．的值域是

C．的值域是    D．在区间上单调递增

三、填空题

13．已知中，，则_________．

14．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．

15．已知甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球．若先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则在第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为______．

16．下列命题中正确的命题有______．（填序号）

①线性回归直线必过样本数据的中心点；②当相关性系数时，两个变量正相关；③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1；

④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；

⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．

四、解答题

17．设数列的前项和满足，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.

18．在△ABC中，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(1)求；  (2)求△ABC的面积．

条件①：；条件②：．

19．如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；   (2)求与平面所成的角的大小.

20．浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：

(1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率；

(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望；

(3)学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中纯理科生大概的比例，得到的数据如下表：（定文同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生）

请补齐表格，并说明依据小概率值的独立性检验，能否认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关．

参考公式：，其中．

附表：

21．已知椭圆过点，长轴长为.

(1)求椭圆的方程及其焦距；

(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

22．已知函数，，；

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若正数a使得对恒成立，求a的取值范围.

参考答案：

1．D

【分析】根据题意，求得，或，结合交集的运算，即可求解.

【详解】由集合，或，

所以.

故选：D.

2．A

【分析】根据复数的运算、复数的概念求值即可.

【详解】依题意，，故z的虚部为-5.

故选：A

3．B

【分析】由诱导公式化简，再根据商数公式弦化切即可得答案.

【详解】.

故选：B.

4．D

【分析】当直线被圆截得的弦长最大时，直线要经过圆心，然后根据点斜式方程可得所求．

【详解】的圆心为，

过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线必过圆心，

所以，

所以直线方程为，即.

故选：D.

5．A

【分析】分两种情况计算：①第一个多项式含1，后一个含；②第一个多项式含，后一个含，把两种情况的系数相加即可.

【详解】由知展开式中含项情况为：

①，

②，

所以展开式中的系数是：.

故选：A.

6．C

【分析】利用定义域可排除AB，用导数讨论函数在上的单调性可排除D.

【详解】易知函数的定义域为，在x<0时，f（x)>0,故AB错误；

当时，，所以

所以函数在上单调递增，故D错误.

故选：C

7．B

【分析】根据正态分布的性质，利用其概率公式，可得答案.

【详解】由题意可知，变量所作的正态曲线关于直线对称，

则，，

故.

故选：B.

8．B

【分析】由已知利用三角形面积公式可求，结合利用余弦定理求出边.

【详解】解：，的面积为，∴，

又，由余弦定理，

，可得： .

故选：B

9．AD

【分析】利用诱导公式化简函数，再逐项计算判断作答.

【详解】依题意，函数，

对于A，，是曲线的一个对称中心，A正确；

对于B，，不是曲线的对称轴，B错误；

对于C，曲线向左平移个单位，得，C错误；

对于D，曲线向右平移个单位，得，D正确.

故选：AD

10．ABC

【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D.

【详解】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误；

对于B，若，，，，不一定为相交直线，

只有当为相交直线时，才可得到，故B错误；

对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误；

对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确，

故选：ABC

11．BC

【分析】由的图象得到函数的单调区间与极值，求出函数的导函数，即可得到和为方程的两根且，利用韦达定理即可表示出、，从而得解；

【详解】由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，

又，所以和为方程的两根且；

所以，，

所以，，，，故A错误，B正确；

所以，，故C正确，D错误.

故选：BC

12．ACD

【分析】根据给定的自变量值与函数对应值表，逐一分析判断作答.

【详解】由表知，则，A错误；

的值域为，B正确，C错误；

当时，，当时，，因此在上不是单调递增的，D错误．

故选：ACD.

13．/0.6

【分析】由以为基底表示，结合，，可得,后即可得答案.

【详解】由图可得，因，则

，则，

因，则，，代入上式有：

，.则.

故答案为：

14．/

【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解.

【详解】令，可得，此时，

所以函数图象恒过定点，

因为点A在直线上，所以，所以，

所以，

当且仅当 ，即时等号成立.

综上，的最小值为.

故答案为：.

15．

【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为，

取到甲袋，乙袋的事件分别为，，

则，

，

则.

故答案为：.

16．①②

【分析】利用回归直线的性质可以判断①②正确；③相关性系数r的绝对值就越接近于1，所以该命题错误；④回归方程的预报精确度越不高，所以该命题错误；⑤模型甲的拟合效果更好，所以该命题错误.

【详解】解：①线性回归直线必过样本数据的中心点，所以该命题正确；

②当相关性系数时，两个变量正相关，所以该命题正确；

③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r的绝对值就越接近于1，所以该命题错误；

④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越不高，所以该命题错误；

⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，所以该命题错误.

故答案为：①②

17．(1)

(2)，

【分析】（1）先根据得到，利用，，成等比数列，可得，可判断数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可得.

（2）由得，利用分组求和法可得.

【详解】（1）由已知，有，

即，从而，，

又因为，，成等比数列，即，

所以，解得，

所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列，

故.

（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以，

所以数列的通项公式为，

.

18．(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）根据所选条件，应用平方关系、和角正弦公式或正弦定理求；

（2）由所选条件，应用正余弦定理求边，再由三角形面积公式求面积即可.

【详解】（1）选①：因为，，B，，

所以，．

所以．

所以．

选②：由，，可得．

由正弦定理得．

（2）选①：由正弦定理得．

所以．

选②：由余弦定理，得．

即，解得（负值舍），

所以．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据直三棱柱的性质和各棱长可知，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，易知四边形为菱形，可得平面，由线面垂直的性质即可得；

（2）取的中点，连接，可证明是与平面所成角的平面角，在中，易知，，即与平面所成的角的大小为.

【详解】（1）连接与相交于点，如下图所示

在直棱柱中，平面平面，

，

又，平面，

所以，平面，

又平面，

，四边形为菱形，即

又，且平面，

平面，又平面，

.

（2）取的中点，连接.如下图所示；

，

又平面平面，

又，且平面，

平面，

是在面内的射影，是与平面所成角的平面角.

在中，易知，

，

即与平面所成的角的大小为.

20．(1)

(2)

(3)表格见解析，可以认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关

【分析】（1）根据古典概型结合组合数分析运算；

（2）根据题意结合古典概型求分布列，进而可求期望；

（3）根据题意完善列联表，求值，并与临界值对比分析.

【详解】（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，

则两人选考物理、化学、生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为，

数目为2的为，数目为3的有，则．

（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2．

当X为0时，对应概率为（1）中所求概率：；

当X为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：

；

当X为2时，1人为1，1人为3：．

则分布列如图所示：

故X的期望为．

（3）由题意可得：

零假设为：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，

即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关．

，

所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即可以认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．

21．(1)，焦距为

(2)证明见解析，定点为.

【分析】（1）根据椭圆过点及列方程组求解；

（2）设，，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点的坐标，根据已知得到+=0，再把韦达定理代入化简即得证.

【详解】（1）由题得，

所以椭圆的方程为，焦距为.

（2）如图，

直线与椭圆方程联立，

化简得，

，即.

设,，,，则，．

直线的方程为，则，

直线的方程为，则，

因为，所以+=0，

所以，

所以，

把韦达定理代入整理得或，

当时，直线方程为，过定点，

即点，不符合题意，所以舍去.

当时，直线方程为，

过定点.

所以直线经过定点.

22．(1)；

(2).

【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，计算及，求出切线方程作答.

（2）构造，按正数a与1的关系分类讨论，并借助导数探讨函数的单调性求解作答.

【详解】（1）当时，，求导得，则，

所以函数在处的切线方程是：，即.

（2）令函数，求导得，

当时，，对恒成立，

当时，由得：，即在上单调递增，则，

因此对恒成立，

当时，由得：，在上单调递减，则对，，

因此对恒成立，不符合题意，

所以的范围是.