高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程测试题

第一章　§2　2.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足(　C　)

A．是圆心　　 B．在圆上

C．在圆内　　 D．在圆外

[解析]　因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，

故点P(3,2)在圆内．

2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　D　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

[解析]　由题意知圆半径r＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选D．

3．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是(　B　)

A．－1<a<1　　 B．a<－1或a>1

C．a<－1　　 D．a>1

[解析]　由题意得(1－a)2＋(1＋a)2>4，

∴a2>1，∴a<－1或a>1，故选B．

4．设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　A　)

A．(x－3)2＋y2＝2

B．(x－3)2＋y2＝8

C．(x＋3)2＋y2＝2

D．(x＋3)2＋y2＝8

[解析]　线段AB的中点坐标为(3,0)，

∴圆的圆心坐标为(3,0)，

圆的半径r＝＝＝，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.

5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　A　)

A．x2＋(y－2)2＝1　　 B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1　　 D．x2＋(y－3)2＝1

[解析]　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A．

6．(多选)已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是(　CD　)

A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1

[解析]　设圆心坐标为(a，b)，由题意得

，解得或故选CD．

二、填空题

7．以点(3，－1)为圆心，且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程为_(x－3)2＋(y＋1)2＝1__.

[解析]　由题意知，圆的半径r＝＝＝1，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.

8．圆心既在直线x－y＝0上，又在直线x＋y－4＝0上，且经过原点的圆的方程是_(x－2)2＋(y－2)2＝8__.

[解析]　由得

∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝＝2，

故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.

三、解答题

9．已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6,3)，Q(8,1)是在圆上？圆外？圆内？

[解析]　由已知条件可得圆心坐标为C(4,6)，半径为r＝|P1C|＝＝，所以以P1P2为直径的圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.

因为|MC|＝＝>＝r；

|QC|＝＝>＝r.

故点M、Q都在圆外．

B　组·素养提升

一、选择题

1．方程y＝表示的曲线是(　D　)

A．一条射线　　 B．一个圆

C．两条射线　　 D．半个圆

[解析]　由y＝，得y≥0，两边平方得x2＋y2＝9，

∴曲线为半圆．

2．圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　A　)

A．(x－1)2＋(y－)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4

D．(x＋1)2＋(y－)2＝4

[解析]　由题意，得圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A．

3．方程 (x－a)2＋(y＋b)2＝0表示的图形是(　D　)

A．以点(a，b)为圆心的圆

B．点(a，b)

C．以点(－a，－b)为圆心的圆

D．点(a，－b)

[解析]　∵(x－a)2＋(y＋b)2＝0，

∴x－a＝0且y＋b＝0，∴x＝a，y＝－b，故选D．

4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　B　)

A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1

D．(x－2)2＋(y－2)2＝1

[解析]　设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意有

解得，对称圆的半径不变，故圆C2的半径也为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.

二、填空题

5．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的方程是_(x＋)2＋y2＝2__.

[解析]　∵圆过原点，圆心在x轴的负半轴上，∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又半径等于，故圆心坐标为(－，0)，所求圆的方程为(x＋)2＋y2＝2.

6．圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2,2)的圆的方程是_x2＋(y＋1)2＝13____.

[解析]　设圆心为A(0，b)，则＝，∴b＝－1，

∴圆的方程是x2＋(y＋1)2＝13.  故答案为：x2＋(y＋1)2＝13.

三、解答题

7．求满足下列条件的各圆的标准方程：

(1)圆心在直线5x－3y＝8上，且与两坐标轴相切；

(2)经过点A(－1,4)、B(3,2)且圆心在y轴上．

[解析]　(1)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

∵圆与坐标轴相切，∴a－b＝0或a＋b＝0，

又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.

由得

由得

∴圆心为(4,4)时，半径r＝4，

圆心为(1，－1)时，半径r＝1.故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16，或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.

(2)∵圆心在y轴上，

∴设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.

又∵点A(－1,4)、B(3,2)在圆上，

∴　解得

故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

8．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1，求的最大值．

[解析]　的几何意义是圆上的点P(x，y)到点A(1,1)的距离，因此最大值为点A到圆心的距离加上半径即＋1.