高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程综合训练题

第一章　§2　2.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．圆x2＋y2－2x＋y＋＝0的圆心坐标和半径分别是(　B　)

A．；1　　 B．；1

C．；　　 D．；

[解析]　圆x2＋y2－2x＋y＋＝0化为标准方程为(x－1)2＋2＝1，圆心坐标为，半径是1，故选B．

2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是(　D　)

A．a<－2或a>　　 B．－<a<2

C．－2<a<0　　 D．－2<a<

[解析]　由题知a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即(3a－2)(a＋2)<0，因此－2<a<.

3．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　A　)

A．一个点　　 B．一个圆

C．一条直线　　 D．不存在

[解析]　方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，

∴x－1＝0且y＋2＝0，

∴x＝1且y＝－2，

∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是点(1，－2)，故选A．

4．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　B　)

A．x2＋y2＋y＝0　　 B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋x＝0　　 D．x2＋y2－10x＝0

[解析]　设圆心坐标为(0，b)，由题意得＝|b|，

解得b＝5，∴圆的半径r＝5.

∴圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0.

5．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆的最大面积是(　B　)

A．π　　 B．π

C．3π　　 D．不存在

[解析]　方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0可化为2＋2＝.

∴r＝，此时m＝－1，

∴圆的最大面积为π.

6．(多选)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列点在圆C内部的有(　BD　)

A．(0,0)　　 B．

C．(3,1)　　 D．(1,1)

[解析]　将点的坐标分别代入x2＋y2－2x－2y＋1可知B、D中满足x2＋y2－2x－2y＋1<0，故选BD．

二、填空题

7．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是_在圆C外部__.

[解析]　将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外部．

8．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝_4__.

[解析]　由题意，知D＝－4，E＝8，

r＝＝4，

∴F＝4.

三、解答题

9．一动点到A(－4,0)的距离是到B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．

[解析]　设动点M的坐标为(x，y)，

则|MA|＝2|MB|，

即＝2，

整理得x2＋y2－8x＝0.

∴所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.

10．已知△ABC顶点的坐标为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求其外接圆的一般方程．

[解析]　方法1：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，

则

解得

因此其外接圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.

方法2：(几何法)

AB的垂直平分线方程y－＝x－，

即y＝x－2；

AC的垂直平分线方程y－＝－，

即y＝－x＋4.

由得圆心(3,1)，

半径＝.

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，

即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.

方法3：(几何法)

因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝×＝－1，所以AB⊥AC，

△ABC为直角三角形．

所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3,1)，半径为BC＝＝，

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，

即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(　D　)

A．9　　 B．14

C．14－6　　 D．14＋6

[解析]　已知方程表示圆心为(－2,1)，r＝3的圆．令d＝，则d表示(x，y)与(0,0)的距离，

∴dmax＝＋r＝＋3，

∴(x2＋y2)max＝(＋3)2＝14＋6.

2．如果直线l将圆x2＋y2－2x－6y＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是(　A　)

A．[0,3]　　　　 B．[0,1]　　

C．　　　　 D．

[解析]　l过圆心C(1,3)，且不过第四象限．

由数形结合法易知：0≤k≤3.

3．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为(　C　)

A．1或－2　　 B．2或－1

C．－1　　 D．2

[解析]　由题意得a2＝a＋2，

∴a2－a－2＝0，

∴a＝－1或a＝2.

当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋2＝0，

即2＋y2＝－，此时不表示圆，故选C．

4．已知x，y满足x2－4x＋y2－2y＋4＝0，则的最大值为(　D　)

A．0　　 B．

C．1　　 D．

[解析]　的几何意义是圆x2－4x＋y2－2y＋4＝0上的点(x，y)与原点连线的斜率，圆x2－4y＋y2－2y＋4＝0的圆心坐标为(2,1)，半径r＝1.设过原点且与圆相切的直线方程为y＝kx，即kx－y＝0，∴＝1，

∴k＝0或，故的最大值为.

二、填空题

5．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c等于_－3__.

[解析]　解法1：圆与y轴的交点A、B的坐标为(0，－1±)，点P坐标为(2，－1)，由∠APB＝90°，得kPA·kPB＝－1，∴c＝－3.

解法2：由已知得半径r＝2，∴5－c＝8，∴c＝－3.

6．若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，则点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的_外部__.

[解析]　∵x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，∴点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的外部．

三、解答题

7．经过两点P(－2,4)，Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．

[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入，得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.

由已知，|x1－x2|＝6(其中x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两根)，∴D2－4F＝36，③

①、②、③联立组成方程组，解得

　或

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.

8．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

[解析]　方法1：(定义法)|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．

又因为四边形MONP为平行四边形，

所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.

因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

除去点和点.

方法2：(代入法)如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)．

则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，

从而又点N(x＋3，y－4)在圆上，

故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.

当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.

因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点.