高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程课后测评

第二章　§1　1.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝5，则点M的轨迹是(　D　)

A．点　　 B．椭圆　　

C．线段　　 D．不存在

[解析]　∵F1(－3,0)，F2(3,0)，∴|F1F2|＝6，

又|MF1|＋|MF2|＝5<6，∴点M的轨迹不存在．

2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　D　)

A．＋＝1　　 B．＋＝1

C．＋＝1　　 D．＋＝1

[解析]　由题意可得解得

故椭圆的方程为＋＝1.

3．如果方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　D　)

A．(3,4)　　 B．

C．　　 D．

[解析]　因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以4－m>0，m－3>0且m－3>4－m，解得<m<4.

4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　B　)

A．圆　　 B．椭圆　　

C．线段　　 D．直线

[解析]　设椭圆的右焦点为F2，

由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，

又|MF1|＋|MF2|＝2a，

所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，

故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．

5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　B　)

A．＋＝1

B．＋＝1或＋＝1

C．＋＝1

D．＋＝1或＋＝1

[解析]　由已知2c＝|F1F2|＝2，所以c＝.

因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，

所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝9.

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.

6．(多选)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　CD　)

A．P点纵坐标为3

B．∠F1PF2>

C．△F1PF2的周长为4(＋1)

D．△F1PF2的内切圆半径为(－1)

[解析]　由已知a＝2，b＝2，c＝2，不妨设P(m，n)，m>0，n>0，则S△F1PF2＝×2c×n＝3，∴n＝，故A错误；由＋＝1，得m＝，∴P，

∴|PF1|2＝2＋＝＋2，|PF2|2＝2＋＝－2，∴|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝×2－16＝>0，∴cos∠F1PF2＝>0，∴∠F1PF2<，故B错误；由椭圆定义，△F1PF2的周长＝2a＋2c＝4＋4，故C正确；设△F1PF2的内切圆半径为r，r·(4＋4)＝3，∴r＝(－1)，故D正确，故选CD．

二、填空题

7．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_＋x2＝1__.

[解析]　由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.

8．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是_4__.

[解析]　设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，

又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，

∴|ON|＝|ME|＝4.

三、解答题

9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．

[解析]　当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.

当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．

由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.

故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.

10．已知点A，B是圆F： 2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程．

[解析]　如图所示，由题意知，

|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，

∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，

∴动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，

∴a＝1，c＝，b2＝.

∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1，即x2＋y2＝1.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　D　)

A．m<2　　 B．1<m<2

C．m<－1或1<m<2　　 D．m<－1或1<m<

[解析]　由题意得

即

∴1<m<或m<－1，故选D．

2．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(　D　)

A．＋＝1　　 B．＋＝1(y≠0)

C．＋＝1(y≠0)　　 D．＋＝1(y≠0)

[解析]　∵|AB|＝8，△ABC的周长为18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D．

3．中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到两焦点的距离之和为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是(　C　)

A．＋＝1　　 B．＋＝1

C．＋＝1　　 D．＋＝1

[解析]　椭圆上的点到两焦点的距离之和为18知a＝9，∵两个焦点将长轴三等分，∴2c＝(2a)＝6，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72，故选C．

4．直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值为(　C　)

A．－1　　 B．

C．－1或1　　 D．－或

[解析]　椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b＝1.

二、填空题

5．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为___，此时|AF2|＝___.

[解析]　如图，由＋＝1，

知a2＝9，b2＝7，c2＝2.

所以a＝3，b＝，c＝.

所以|F1F2|＝2.

设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.

因为∠AF1F2＝45°，

所以(6－x)2＝x2＋8－4x·.所以x＝.

所以S△AF1F2＝×2××＝.

|AF2|＝6－＝.

6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_＋＝1__.

[解析]　本题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方程，点在圆外，过点与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y＝x＋m，由1＝得m＝，故另一条切线的方程为y＝－x＋代入圆的方程联立解得切点为，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求椭圆方程为＋＝1.

三、解答题

7．求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；

(2)a∶c＝13∶5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

[解析]　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，

所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.

又焦点在y轴上，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又＝，所以c＝5，

所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，

因为焦点所在的坐标轴不确定，

所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

8．设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上的点D，E满足D，E，F2三点共线，求△F1DE的周长．

[解析]　如图，根据椭圆的定义可得

|DF1|＋|DF2|＝2a，|EF1|＋|EF2|＝2a，

∴△F1DE的周长为|EF1|＋|EF2|＋|DF1|＋|DF2|＝4a.