新教材2023年高中数学第2章圆锥曲线检测题北师大版选择性必修第一册

第二章检测题

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是(　D　)

A．2　　 B．2　　

C．　　 D．1

[解析]　由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.

2．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值是(　A　)

A．35或37　　 B．35　　

C．37　　 D．16

[解析]　由题意得2c＝2，即c＝1.

当m>36时，m－36＝c2＝1，m＝37；

当m<36时，36－m＝c2＝1，m＝35.

故m的值为35或37.

3．抛物线y＝2x2的准线方程为(　D　)

A．4x＋1＝0　　 B．4y＋1＝0

C．8x＋1＝0　　 D．8y＋1＝0

[解析]　抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，则p＝，故抛物线y＝2x2的准线方程是y＝－，即8y＋1＝0.

4．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为(　D　)

A．10　　 B．20　　

C．2　　 D．4

[解析]　由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，

∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.

由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16，

a2＝25＋16＝41，∴a＝，∴L＝4，故选D．

5．已知方程(m－3)x2＋(5－m)y2＝(m－3)(5－m)，其中m∈R，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是(　D　)

A．直线　　 B．圆

C．双曲线　　 D．抛物线

[解析]　由题意，m∈R，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线．故选D．

6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　B　)

A．－＝1　　 B．－＝1

C．－＝1　　 D．－＝1

[解析]　由y＝x可得＝.①

由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，

可得a2＋b2＝9.②

由①②可得a2＝4，b2＝5.

所以C的方程为－＝1.故选B．

7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　C　)

A．　　 B．2　　

C．4　　 D．8

[解析]　|AB|＝4，∴准线方程为x＝－4，∴A(－4，2)在双曲线上，设双曲线方程为－＝1(a≠0)，即－＝1，∴a＝2，∴实轴长2a＝4.

8．已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的两条切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由题意得c>b.设过点F的两条切线的切点分别为M，N，O为坐标原点，则由椭圆、圆的对称性知∠MFO＝∠NFO＝.连接OM，在Rt△OMF中，|OM|＝b，|OF|＝c，所以c＝b，即c2＝2b2＝2(a2－c2)，所以2a2＝3c2，故e＝＝＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．(2020·新高考山东卷，9)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是(　ACD　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

[解析]　对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．

对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．

对于C，当m>0 ，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．

对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．

综上可知，正确的选项为ACD．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1，则(　BC　)

A．实轴长为2

B．渐近线方程为y＝±x

C．离心率为2

D．一条渐近线与直线x＝的交点到另一条渐近线的距离为3

[解析]　由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝±x，所以A不正确，B，C正确；因为直线方程为x＝＝1，设渐近线y＝x与直线x＝1的交点为A，两个方程联立可得A(1，)，另一条渐近线的方程为x＋y＝0，所以点A到它的距离d＝＝，所以D不正确．

11．过抛物线C：y2＝8x的焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于P，Q两点(点P在第一象限)，以PF，QF为直径的圆分别与y轴相切于A，B两点，则下列结论正确的是(　ABC　)

A．抛物线C：y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)

B．|PQ|＝

C．|AB|＝

D．M为抛物线C上的动点，N(2,1)，则(|MF|＋|MN|)min＝6

[解析]　由题意可得抛物线的焦点F的坐标为(2,0)，所以A正确；由题意设直线PQ的方程为y＝(x－2)，与抛物线方程联立整理可得3x2－20x＋12＝0，解得x＝或6，代入直线PQ的方程可得y分别为－，4，结合题意可得P(6,4)，Q，所以|PQ|＝6＋＋4＝，所以B正确；因为P(6,4)，Q，所以PF，QF的中点分别为(4,2)，，所以由题意可得A(0,2)，B，所以|AB|＝2＋＝，所以C正确；如图所示，点M在抛物线上，ME垂直准线于E，可得|MF|＝|ME|，所以|MF|＋|MN|＝|ME|＋|MN|≥|NE|＝2＋2＝4，当N，M，E三点共线时，|MF|＋|MN|最小，且最小值为4，所以D不正确．

12．设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　BD　)

A．直线AB与OM垂直

B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0

C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为

D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝

[解析]　设点M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有得＝－.设直线AB，OM的斜率分别为kAB，kOM，则kAB＝－，kOM＝.对于选项A，kAB·kOM＝－2≠－1，故选项A错误；对于选项B，根据kAB·kOM＝－2，若kOM＝1，则kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故选项B正确；对于选项C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，故选项C错误；对于选项D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，则可取x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝·＝，故选项D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_2__.

[解析]　由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－，因为p＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(－，0)；故由－＝－可解得p＝2.

14．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是_2__.

[解析]　如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2.

15．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝3，则直线AB的方程为_y＝(x－1)__，|AB|＝___.

[解析]　抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，设C(－1，m)，B(a，b)，

∵＝3，∴(－2，m)＝3(a－1，b)＝(3a－3,3b)，则3a－3＝－2，m＝3b，即a＝，此时b2＝4×，得b＝－＝－，即m＝－2，

则C(－1，－2)，则AB的斜率k＝＝，

则直线方程为y＝(x－1)，

代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，得x1＋x2＝，

则|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.

16．设AB为过椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2中心的弦，F1为焦点，则△F1AB的最大面积为_b__.

[解析]　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因O是AB，F1F2中点，故四边形F1AF2B为平行四边形，所以△F1AB与△AF1F2的面积相等．设点A的坐标为(x1，y1)，则△AF1F2的面积S△AF1F2＝|F1F2|·|y1|.而|y1|≤b，所以当x1＝0时，|y1|取得最大值b.所以△AF1F2的最大面积为·2c·b＝bc，即(S△F1AB)max＝bc＝b.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|；

(2)若直线l的斜率为1，求b的值．

[解析]　(1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝，

设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A，B两点坐标满足方程组

消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，

即＝|x2－x1|.

则＝(x1＋x2)2－4x1x2

＝－＝，

解得b＝.

18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．

[解析]　(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，

则点F2到渐近线距离为＝b(其中c是双曲线的半焦距)，所以由题意知c＋a＝2b.

又因为a2＋b2＝c2，解得b＝a，

故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.

(2)因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2.

又由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，

平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，

相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.

根据三角形的面积公式得S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝·4b2＝b2＝48，得b2＝48.

由(1)得a2＝b2＝27，

故所求双曲线方程是－＝1.

19．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F为(1,0)，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)记抛物线的准线与x轴交于点E，若·＝40，求直线l的方程．

[解析]　(1)由题意得＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)由题意，知E(－1,0)，直线l的斜率一定不为0，所以可设直线l的方程为x＝my＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线l和抛物线C的方程得消元得y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝1，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，

所以·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝x1x2＋1＋x1＋x2＋y1y2＝1＋1＋4m2＋2－4＝4m2＝40，

解得m＝或m＝－.

故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.

20．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A点在抛物线上，且A的横坐标为4，|AF|＝5.

(1)求抛物线的方程；

(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线，若l交抛物线于B，C两点，求证：以BC为直径的圆必过坐标原点．

[解析]　(1)解：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线x＝－，由抛物线的定义可得，|AF|＝4＋＝5，

解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x.

(2)证明：设直线l：x＝my＋4，B(x1，y1)，C(x2，y2)，

代入抛物线方程y2＝4x，可得y2－4my－16＝0，

判别式为16m2＋64>0恒成立，

y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，x1x2＝·＝16，

即有x1x2＋y1y2＝0，则⊥，则以BC为直径的圆必过坐标原点．

21．(本小题满分12分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.

(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；

(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．

[解析]　(1)设点F的坐标为(－c,0)．

依题意，得＝，＝a，a－c＝，

解得a＝1，c＝，p＝2，

进而得b2＝a2－c2＝.

所以椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为y2＝4x.

(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，故点Q，将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，

整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，

解得y＝0或y＝.

由点B异于点A，可得点B.

由点Q，

可得直线BQ的方程为(x＋1)－＝0，

令y＝0，解得x＝，

故点D.

所以|AD|＝1－＝.

又因为△APD的面积为，

故··＝，

整理得3m2－2|m|＋2＝0，

解得|m|＝，

所以m＝±.

所以直线AP的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.

22．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若＝6，求k的值；

(3)求四边形AEBF面积的最大值．

[解析]　(1)依题意知椭圆的长半轴长为a＝2，短半轴长为b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如图所示，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，由得(1＋4k2)x2－4＝0，Δ＝02－4×(1＋4k2)×(－4)＝16(1＋4k2)>0，则x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝　①.

由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝.

由D在AB上知，x0＋2kx0＝2，得x0＝.

所以＝，解得k＝或k＝.

(3)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为h1＝＝，

h2＝＝.

又|AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝＝2＝2＝2≤2，当且仅当2k＝1，即k＝时，取等号．所以四边形AEBF面积的最大值为2.