新教材2023年高中数学第3章空间向量与立体几何1空间直角坐标系素养作业北师大版选择性必修第一册

第三章　§1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则顶点A的坐标是(　C　)

A．(－1，－1，－1)　　 B．(1，－1,1)

C．(1，－1，－1)　　 D．(－1,1，－1)

[解析]　根据空间中点的坐标的定义，可得点A的坐标是(1，－1，－1)，故选C．

2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝(　D　)

A．　　 B．38　　

C．　　 D．10

[解析]　易知点B的坐标为(2，－3，－5)，∴|AB|＝＝10.

3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作xOy平面的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为(　D　)

A．(0，，0)　　 B．(0，，)

C．(1,0，)　　 D．(1，，0)

[解析]　由于垂足在xOy平面上，故竖坐标为0，横坐标、纵坐标不变，故选D．

4．在空间直角坐标系中，点P(2,5,6)与点Q(2，－5，－6)的位置关系是(　A　)

A．关于x轴对称　　 B．关于xOy平面对称

C．关于原点对称　　 D．以上都不对

[解析]　点P(2,5,6)与点Q(2，－5，－6)的横坐标相同，而纵坐标、竖坐标，分别是互为相反数，∴两点关于x轴对称．

5．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5，0,2)，则过点A的中线长为(　B　)

A．　　 B．2　　

C．11　　 D．3

[解析]　由B(3,2，－6)与C(5,0,2)知BC边中点D的坐标为(4,1，－2)，又A(2，－1,4)．所以过点A的中线长|AD|＝＝2.

6．(多选)在空间直角坐标系中，已知点A(－2,3,4)，在y轴上有一点B，使得|AB|＝7，则点B的坐标为(　AD　)

A．(0,3－，0)　　 B．(0，－3－，0)

C．(0，－3＋，0)　　 D．(0,3＋，0)

[解析]　设点B的坐标为(0，b,0)，

∴|AB|＝＝7，

∴b2－6b－20＝0，

∴b＝3±.

故选AD．

二、填空题

7．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝___.

[解析]　AB的中点M的坐标为，∴|CM|＝＝.

8．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为_(5,13，－3)__.

[解析]　由平行四边形的对角线互相平分，知线段AC的中点即为线段BD的中点，又AC的中点的坐标为 ，

设顶点D的坐标为(x，y，z)，则由中点坐标公式，得＝，4＝，－1＝，

解得x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．

三、解答题

9．三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．求|MN|的长．

[解析]　如图所示，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

因为CA＝CB＝1，AA1＝2，所以N点坐标为(1,0,1)，M点坐标为，

由两点间的距离公式得

|MN|＝＝.

故|MN|的长为.

10．已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标．

[解析]　设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，

由|AP1|＝|AP2|得

＝，

所以x＝－3，同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，

由|CP1|＝|CP2|得z＝－，

所以A点坐标为(－3,0,0)，B点坐标为(0，－1,0)，C点坐标为.

B　组·素养提升

一、选择题

1．在空间直角坐标系中，点P(1,3,4)到x轴的距离是(　A　)

A．5　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　点P(1,3,4)在x轴上的射影Q的坐标为(1,0，0)，

∴点P到x轴的距离为

|PQ|＝＝5.

2．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则(　D　)

A．三点构成等腰三角形

B．三点构成直角三角形

C．三点构成等腰直角三角形

D．三点构不成三角形

[解析]　|AB|＝＝，

|AC|＝＝2，

|BC|＝＝，

∴|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，故选D．

3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　B　)

A．a　　 B．a　　

C．a　　 D．a

[解析]　∵A′(a,0，a)，C(0，a,0)，点E的坐标为，则F，|EF|＝＝a，故选B．

4．已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A(－1，－1,2)，

点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是(　B　)

A．　　 B．　　

C．3　　 D．

[解析]　因为点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，所以可设点B(m,1－m,0)，由空间两点之间的距离公式，得|AB|＝＝.令t＝2m2－2m＋9＝22＋，当m＝时，t取最小值为，所以当m＝时，|AB|的最小值为＝，即A，B两点的最短距离是，故选B．

二、填空题

5．设x为任意实数，相应的所有点P(x,2，－3)的集合所表示的轨迹为_一条直线__.

[解析]　点P(x,2，－3)在过(0,2，－3)点且与yOz平面垂直的直线上．

6．在平面直角坐标系中，点A(－1,2)关于x轴的对称点为A′(－1，－2)．那么，在空间直角坐标系中，B(－1,2,3)关于x轴的对称点B′的坐标为_(－1，－2，－3)__，若点C(1，－1,2)关于xOy平面的对称点为点C′，则|B′C′|＝___.

[解析]　由题得B(－1,2,3)关于x轴的对称点B′的坐标为(－1，－2，－3)；点C(1，－1,2)关于xOy平面的对称点为点C′(1，－1，－2)，所以|B′C′|＝＝.

三、解答题

7．已知△ABC的三顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．

(1)求△ABC中最短边的边长；

(2)求AC边上中线的长度．

[解析]　(1)由空间两点间的距离公式，得

|AB|＝＝3，

|BC|＝＝，

|AC|＝＝.

∴△ABC中最短边是BC，其长度为.

(2)由中点坐标公式，得AC的中点坐标为，∴AC边上中线的长度为

＝.

8．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1E⊥BD1于点E，求A，E两点之间的距离．

[解析]　根据题意，可得A(a,0,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)．

过点E作EF⊥BD于点F，如图所示，

在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，

|BD1|＝a，|B1D1|＝a，

所以|B1E|＝＝，

所以在Rt△BEB1中，|BE|＝a.

由Rt△BEF∽Rt△BD1D，

得|BF|＝a，|EF|＝，

所以点F的坐标为，

则点E的坐标为.

由两点间的距离公式，

得|EA|＝＝a，

所以A，E两点之间的距离是a.